§1-矢量的基本知识和运算法则

1§1矢量的基本知识和运算法则1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A记做A，其大小等于A矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。10NF图5－1A/A/AA/AA/AA/AA/AA图5－2CABABCBCAB()ABABCCABABCABCABC图5－3ABCDEABCDEABCDEBDACE图5－423．矢量A与数量K相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K＞0时，与原矢量方向相同；当K0时，与原矢量方向相反如动量mV、冲量Ft都是矢量，其方向分别与矢量V和F矢量相同。动量的变化量mV也是矢量，其方向与V相同。矢量A与数量K相除，可以看成A矢量乘以数量1K，如加速度1FaFmm，方向与F相同。4．矢量A与矢量B相乘一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cosABAB。如：功是力F与位移S的数量积，是标量。cosWFSFS另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用AB表示，矢量积ABC还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sinCAB，即矢量C的大小等于两矢量A和B为邻边的平行四边形的面积，矢量C的方向垂直于矢量A和B所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。注意：ABBA，AB与BA大小相等，方向相反。如力矩M等于力F和矢径r两矢量的矢量积，力矩MrF，大小为3sinMFr。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）FqVB，大小为sinFqvB（若是负电荷受力方向与此相反）例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A、B，虽然,ABABvvaa，但方向不同，由矢量相等的条件可知：ABvv，ABaa，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。由功的定义得：cosWFSFS，因为作用于匀速园周运动的物体上的合外力F始终沿着半径指向圆心，与位移S的方向垂直。故cos02WFS，所以物体在做匀速园周运动的过程中，合外力（即向心力不做功）例5－2判断图5－7所示的带电粒子受力的方向。解：根据FqvB，用右手螺旋法则得出带电粒子的受力方向竖直向上（如图5－8）例5－3空间某处O，有互相垂直的两个水平磁场1B和2B，55121.7310,1.0010BTBT，现在该处有一段载流直导线，问导线应如何放置，才能使两磁场作用在它上面的合力为零。解：以O为坐标原点，建立直角坐标系oxyz，令2B沿x轴方向，1B沿y轴方向（如图5－9）根据安培定律：FIlB磁场作用于载流导线上的力F垂直于l和B所决定的平面，并依右手螺旋定则规AVAaAFAVBFBaABO图5-64定其方向。为使两磁场作用于载流导线的合力为零，则导线l必须置于oxy平面内，设它与y轴的夹角为θ，则有：11sinFBIl方向沿z轴向上。0222sin90cosFBIlBIl，方向沿z轴向下。平衡时：12sincos0BIlBIl012cot1.73,30BB即导线与1B所成的角度为300，与2B所成的角度为600。例5－4图5－10是一张斜碰的闪光照片。大球的质量m1=201.1g小球的质量m2=85.4g。两球都是从下向上运动，碰撞后左、右分开，闪光的快慢是每秒30次，照片和实物的线度比例大约是1：10，试作出它们的动量分析图，并求出两球的动量的改变量12PP和，由此可得出什么结论？解：由照片所示的两球位置和线段的比例，分别量出两球碰撞前后。在130秒内所通过的距离。大球：/11106.06.0105.05.0SmmcmSmmcm小球：/22107.07.0,109.09.0SmmcmSmmcm由此计算出两球碰撞前后的速度：大球：21/216.0301.810(/)1.8(/)5.01.5/1.5/vcmsmsvcmsms小球：22/227302.110/2.1/9302.710/2.7/vcmsmsvcmsms根据动量Pmv算出两球碰撞前后的动量：5大球：碰撞前：1110.20111.80.36(/)Pmvkgms，方向与V1相同。碰撞后：//1110.20111.50.30(/)Pmvkgms，方向与/1V相同。小球：碰撞前：22228.542.1100.18(/)Pmvkgms，方向与2V相同。碰撞后：//22228.542.7100.23(/)Pmvkgms，方向与/2V相同。两球碰撞前后动量的变化量：大球：//11111PPPPP小球：//22222PPPPP选取比例线段，根据平行四边形法则，作动量分析图（图5－11），从图中可以量得：10.13(/)Pkgms20.13(/)Pkgms两者方向相反。所以：12PP即两球碰撞前后动量的改变量是大小相等，方向相反的。