70函数的极值与导数

4.2函数的极值与导数上页下页铃结束返回首页aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增加f(x)减少上页下页铃结束返回首页巩固：定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)0,得x0或x1，则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)0,得0x1,f(x)单减区(0,2).注意:求单调区间:1:首先注意定义域,2:其次区间不能用U连接（第一步）解：（第二步）（第三步）单调区间27x21-x31f(x)23上页下页铃结束返回首页yxOabyf(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?f(x2)、f(x4)比x2、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?观察图像：上页下页铃结束返回首页函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的函数值值）使函数取得极值的点x0称为极值点上页下页铃结束返回首页（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值（2）极大值不一定比极小值大（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该点的导数为0或者不存在例：y=x2上页下页铃结束返回首页•1．理解极值概念时需注意的几点•(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．•(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．•(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域上单调的函数没有极值．总结上页下页铃结束返回首页•(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))•(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．上页下页铃结束返回首页练习：下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy上页下页铃结束返回首页yxO探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？结论:极值点处，如果有切线，切线水平即:k切=f(x)=0abyf(x)x1x2x3f(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0思考;若f(x0)=0，则x0是否为极值点？结论：导数为0的点不一定是极值点，但都叫驻点。xyO分析yx3是极值点吗？）（处，在，得由0,00'03)(',)(23xfxxxfxxf上页下页铃结束返回首页进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极小值即:极值点两侧单调性互异上页下页铃结束返回首页f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?x2xXx2x2Xx2f(x)f(x)xXx1x1Xx1f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0注意:(1)f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0上页下页铃结束返回首页因为所以例1求函数的极值.4431)(3xxxf解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令解得或,0)(xf,2x.2x当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增3/283/4所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.上页下页铃结束返回首页变式求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xx0f(x))(xf+单调递增单调递减–)121,(),121(1212449所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f上页下页铃结束返回首页求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.上页下页铃结束返回首页求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0312)()3(2xxf令解得.2,221xx所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.,033)()4(2xxf令解得.1,121xx所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.上页下页铃结束返回首页小结：极值定义关键：①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0或者不存在。②极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤：①确定定义域②求f’(x)=0的根③并列成表格④判断极值：用方程f’(x)=0的根x0，x1,...,顺次将函数的定义域分成若干个开区间，如果xn左侧紧邻区间导函数f'(x)都小于0，右侧紧邻区间导函数f'(x)都大于0，则f(x)在xn左边减少，右边增加,xn是极小值点，f(xn)是极小值。如果xn左侧紧邻区间导函数f'(x)都大于0，右侧紧邻区间导函数f'(x)都小于0，则f(x)在xn左边增加，右边减少,xn是极大值点，f(xn)是极大值。上页下页铃结束返回首页•例2求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．•[分析]首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．•[解析]f′(x)＝3x2－4x.令f′(x)＝0，有3x2－4x＝0.解得x＝0，43.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：上页下页铃结束返回首页•故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.•[点评]利用求最值的步骤求解．•1、函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点．•2、函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最值的充分而非必要条件．上页下页铃结束返回首页变式：求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值上页下页铃结束返回首页故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112'y上页下页铃结束返回首页•例3已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，•(1)试求常数a、b、c的值；•(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．•[解析](1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.•又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.上页下页铃结束返回首页(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x－1或x1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.•[点评]若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．上页下页铃结束返回首页注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①f(x0)=0,则f(x0)必为极值；②f(x)=在x=0处取极大值0，③函数的极小值一定小于极大值④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。⑤函数的极值即为最值3x上页下页铃结束返回首页1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,0已知函数解得a6或a3上页下页铃结束返回首页练习1：求在时极值。44xx31y3),0(x上页下页铃结束返回首页练习2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1与x=-1处有极值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极值.上页下页铃结束返回首页练习3：设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.上页下页铃结束返回首页变式：设a0，(1)证明f(x)＝ax＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a和b的值．[解析](1)证明：f′(x)＝a(1＋x2)－2x(ax＋b)(1＋x2)2＝－ax2－2bx＋a(1＋x2)2，令f′(x)＝0，即ax2＋2bx－a＝0.①上页下页铃结束返回首页∵Δ＝4b2＋4a20，∴方程①有两个不相等的实根，记为x1、x2.不妨设x1x2，则有f′(x)＝－ax2－2bx＋a(1＋x2)2＝0，即－a(x－x1)(x－x2)＝0.f′(x)、f(x)的变化情况如下表：上页下页铃结束返回首页由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有1个．(2)解：由(1)可知f(x1)＝ax1＋b1＋x21＝－1，f(x2)＝ax2＋b1＋x22＝1⇒－x21－1＝ax1＋b且1＋x22＝ax2＋b，两式相加，得x22－x21＝a(x1＋x2)＋2b.又x1＋x2＝－2ba，代入上式，得x22－x21＝a－2ba＋2b＝0，∴x22－x21＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0.上页下页铃结束返回首页•而x1x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.•代入①式，得a(x2－1)＝0.•∵a0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.•∴a＝2，b＝0.上页下页铃结束返回首页