2014届高考数学一轮复习 第39讲《简单的线性规划问题》热点针对课件 理

第39讲简单的线性规划问题1．不等式x－2y＋60表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方B2．(改编)下列各点中，与点(1,3)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是()A．(0,0)B．(－1,2)C．(－2,4)D．(2，－3)C解析：因为点(1,3)满足1＋3－1＞0，即满足x＋y－1＞0，同时满足的有(－2,4)点，故选C.3．(原创)图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式()A.y≥02x－y＋2≥0B.y≥02x－y＋2≤0C.x≤1y≥02x－y＋2≥0D.x≤1y≥02x－y＋2≤0C解析：通过读图形，显然可以得到x≤1，y≥0，将原点坐标代入2x－y＋2≥0知成立，故选C.4．(2013·山东德州市上期末)已知实数x，y满足的约束条件x≥2y≥2x＋y≤6，则z＝2x＋4y的最大值为()A．20B．24C．16D．12A解析：画出约束条件下的可行域，平移直线y＝－12x＋z4，当直线过点(2,4)时，z＝2x＋4y的最大值为20，故选A.一平面区域的确定【例1】在坐标平面上，不等式组y≥x－1y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为()A.2B.32C.322D．2解析：在平面直角坐标系中，作出不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分，可求得A(12，－12)，B(－1，－2)，C(0,1)，D(0，－1)．所以S△ABC＝S△CDB＋S△CDA＝12|CD|·|xB|＋12|CD|·|xA|＝32.故选B.【拓展演练1】(2013·长春市第三次调研)平面区域－1≤x＋y≤1－1≤x－y≤1的周长为.解析：画出满足约束条件的平面区域(如图)，由图可知平面区域图形是边长为2的正方形，故其周长为42.二简单线性规划问题【例2】已知x－y＋2≥0x＋y－4≥02x－y－5≤0，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝2y＋1x＋1的取值范围．解析：作出可行域，如图所示．并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)易知可行域各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－40，将C(7,9)代入z＝x＋2y－4，得zmax＝21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝92.(3)z＝2·y－－12x－－1表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－12)连线的斜率的2倍，因为kQA＝74，kQB＝38，故z的取值范围为[34，72]．【拓展演练2】(1)(2013·太原市模拟)若实数x，y满足不等式组x＋y≥22x－y≤4x－y≥0，则z＝2x＋3y的最小值是.(2)(2012·河南省豫北六校第三次精英联考)实数x，y满足不等式组x≥1y≥0x－y≥0，则W＝y－1x的取值范围是()A．[－1,1)B．[－1,2)C．(－1,2)D．[－1,1]解析：(1)作出满足不等式组的平面区域，如图所示，目标函数z＝2x＋3y在边界点(2,0)处取到最小值，z＝2×2＋3×0＝4.(2)作出满足不等式组的平面区域，如图所示，而W＝y－1x表示过点(x，y)和(0,1)两点连线的斜率，则由图易知此斜率大于或等于过点(1,0)和(0,1)两点连线的斜率1，小于直线x－y＝0的斜率，即有－1≤W＜1，故选A.【例3】某工厂生产一种产品，其成本为27元/kg，售价为50元/kg.生产中，每千克产品产生0.3m3的污水，污水有两种排放方式：方式一：直接排入河流；方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有85%，污水处理站最大处理能力是0.9m3/h，处理污水的成本是5元/m3；三简单线性规划的实际应用另外，环保部门对河流的污水收费标准是17.6元/m3，且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225m3/h，那么，该厂应选择怎么样的生产与排污方案，可使其每小时净收益最大？分析：该问题属于物资调运问题，关键找出“净收益＝售出产品收入－生产费用”、“生产费用也包括生产成本，污水处理费，排污费”的数量关系，准确列出目标函数和约束条件．解析：假设该厂生产的产量为xkg/h，直接排入河流的污水为ym3/h，每小时净收益为z元，那么售出产品的收入为50x元/h；产品成本为27x元/h；污水产生量为0.3xm3/h，污水处理量为(0.3x－y)m3/h，污水处理费为5(0.3x－y)元/h，污水处理厂处理后的污水排放量为：0．15(0.3x－y)m3/h，环保部门要征收的污水费为17.6[0.15(0.3x－y)＋y]元/h，因此目标函数z＝50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15·(0.3x－y)＋y]＝20.708x－9.96y，约束条件有两个：(1)污水的处理能力是有限的0≤0.3x－y≤0.9；(2)允许排入河流的污水量是有限的y＋(1－0.85)(0.3x－y)≤0.255.本题问题转化为在约束条件0.3x－y≥00.3x－y≤0.9y＋0.150.3x－y≤0.225x≥0，y≥0下，求目标函数z＝20.708x－9.96y的最大值．作出可行域如图，设z＝0，作直线l0，平移l0，发现l0经过A点时z取最大值，解方程组0.3x－y＝0.9y＋0.150.3x－y＝0.225，得A(3.3,0.09)．故该厂生产该产品3.3kg/h，直接排入河流的污水为0.09m3/h时，可使每小时净收益最大，最大值为20.708×3.3－9.96×0.09＝67.44(元)．【拓展演练3】某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品需要电力5千瓦·时，煤3吨，劳动力5人，获利700元；生产1吨乙产品需要电力6千瓦·时，煤6吨，劳动力3人，获利900元．该厂现有工人150人，电力负荷180千瓦·时，煤150吨，问这两种产品各生产多少吨时，才能获得最大的经济效益？解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元，依题意可得：5x＋6y≤1803x＋6y≤1505x＋3y≤150x≥0y≥0，目标函数z＝700x＋900y.作出可行域(如上右图中阴影部分)和目标函数的等值线(如图中的虚线)．所以当目标函数的等值线经过点A(15，352)时，目标函数z取最大值26250元．答：生产甲产品15吨，乙产品17.5吨时可获得最大的经济效益．1.(2013·湖南卷)若变量x，y满足约束条件y≤2xx＋y≤1y≥－1，则x＋2y的最大值是()A．－52B．0C.53D.52C解析：作出不等式组y≤2xx＋y≤1y≥－1表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(－12，－1)，B(13，23)，C(2，－1)．设z＝F(x，y)＝x＋2y，将直线l：z＝x＋2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z＝x＋2y达到最大值，所以z最大值＝F(13，23)＝53，故选C.2.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a0，x，y满足约束条件x≥1x＋y≤3y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2B解析：由a0，y＝a(x－3)恒过点(3,0)，画出约束条件所表示的可行域，如图阴影部分所示，由图可知当直线z＝2x＋y过点A时取得最小值．由x＝1y＝ax－3，得A点的坐标为(1，－2a)，所以2×1＋(－2a)＝1，解得a＝12.3.(2013·湖北卷)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元C解析：设分别租用A，B两种型号的客车x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z＝1600x＋2400y，其中x，y满足不等式组36x＋60y≥900x＋y≤21y－x≤7(x，y∈N)．作出可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，z取得最小值，此时的总租金z＝1600×5＋2400×12＝36800，故选C.