导数与微分PPT优秀课件

第2章导数与微分1.1导数的概念1.2导数的运算1.3微分前页结束后页章2.1.1引出导数概念的实例例1平面曲线的切线斜率曲线的图像如图所示,在曲线上任取两点和，作割线，割线的斜率为)(xfy00()Mx,y),(00yyxxNxxfxxfxykMN)()(tan00MN2.1导数的概念yxO()yfxMNTx0xxx0yP前页结束后页章这里为割线MN的倾角，设是切线MT的倾角，当时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即xxfxxfxykxxx)()(limlimtanlimtan00000θ0xyxO()yfxMNTx0xxx0yP前页结束后页章当趋向于0时，如果极限设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q)，当产量Q从变到时，总成本相应地改变量为当产量从变到时，总成本的平均变化率0Q0QQ00()()CCQQCQQ00QQ00()()CQQCQCQQ0000()()limlimQQCQQCQCQQ存在，则称此极限是产量为时总成本的变化率。0Q0Q例2产品总成本的变化率前页结束后页章定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记为xx0),()(00xfxxfyxyx0limxxfxxfx)()(lim000.|dd,|dd,|)(0000xxxxxxxfxyy'xf'或或或.)()(limlim)(00000xxfxxfxyxf'xx或2.1.2导数的概念前页结束后页章导数定义与下面的形式等价：.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx若y=f(x)在x=x0的导数存在，则称y=f(x)在点x0处可导，反之称y=f(x)在x=x0不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.前页结束后页章三、左导数与右导数左导数:.)()(lim)(0000xxfxxfxfx右导数:.)()(lim)(0000xxfxxfxfx显然可以用下面的形式来定义左、右导数,)()(lim)(0000xxxfxfxfxx.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx定理3.1y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等.前页结束后页章三、导数的几何意义当自变量从变化到时，曲线y=f(x)上的点由变到)).(,(00xxfxxM此时为割线两端点M0，M的横坐标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.0x)).(,(000xfxMxyxyxx0M0M0xxx0前页结束后页章曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：0xD00()limlimtantanxyfxkx所以，导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.)(0xfM0M0xxx0P0M前页结束后页章设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当时,曲线在的切线方程为0001()().()yfxxxfx0xx(即法线平行y轴).0xx000()()().yfxfxxx当时,曲线在的法线方程为0()0fx()fx0M而当时,曲线在的法线方程为0()0fx()fx0M0()fx()fx0M前页结束后页章例3求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.2xy()()yfxxfx222()2()xxxxxxxxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00为正整数）nnxxnn()(111()()xn前页结束后页章例4求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:3xy)8,2(233)(xx3xy)8,2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612yx)2(1218xy即09812yx前页结束后页章2.1.4可导性与连续性的关系定理2若函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续.证因为f(x)在点x0处可导，故有00()lim.xyfxx根据函数极限与无穷小的关系,可得:00()lim0.xyfxx，其中两端乘以得:0()yfxxxx由此可见:000limlim(())0.xxyfxxx即函数y=f(x)在点x0处连续.证毕.前页结束后页章例5证明函数在x=0处连续但不可导.||yx证因为0lim||0xx所以在x=0连续||yx00(0)limlim1xxyxfxx1limlim)0(00xxxyfxx而即函数在x=0处左右导数不相等,从而在||yxx=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连续,连续不一定可导.前页结束后页章设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理一);()()]()()[1('''xvxuxvxu),()()()()]()()[2('''xvxuxvxuxvxuuCCuCCxv)(,()(,则为常数）特别地2)]([)()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu()1,ux2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则2.2导数的运算特别地,如果可得公式21()(()0)()[()]vxvxvxvx前页结束后页章wvuwvu)(注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形wuvwvuvwuuvw)(例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则前页结束后页章)3lnsin(3xexyx解：)3(ln)(sin)()(3xexxxexxcos32例2设52,xyxy求)(52)(5xx2xx解：)25(xxy2ln25225xxxxyxexyx，求设3lnsin3例1前页结束后页章)(tanxy)cossin(xx解：xxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1即2(tan)secxx2(cot)cscxx类似可得例3求y=tanx的导数前页结束后页章)cos1(xxx2cossin)(secxy解：xxtancos1xxtansec即(sec)sectanxxx(csc)csccotxxx类似可得例4求y=secx的导数前页结束后页章基本导数公式表为常数）CC(0).(1为常数）().(21xxaxxaln1).(log314.(ln)xxxxee).(6xxcos).(sin7xxsin).(cos82.2.2基本初等函数的导数aaaxxln)(5.前页结束后页章xxx22cos1sec).(tan9xxxtansec).(sec11xxxcotcsc).(csc12211).(arcsin13xx211).(arccos14xx211).(arctan15xx21161.(arccot)xxxxcosh).(sinh17xxsinh).(cosh18xxx22sin1csc).(cot10前页结束后页章)sin2()sin2(3222xxxx)cos4()sin2(322xxxx])sin2[(32xxy解：22)]cos4()sin2(3[22xxxxxxy22)12(6ππ2,)sin2(32xyxxy求设例5前页结束后页章定理二)(xu如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数)]([xfy在x处可导，且有dydydudxdudx或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.3复合函数的导数前页结束后页章xuxuy)1()(sin2xu2cos)1cos(22xx例7yxy求,2lnsin222lncos22xxxxxxxy2221212lncos222解：解：复合而成可看作221,sin)1sin(xuuyxyyxy求),1sin(2例6前页结束后页章定理三,0)(y且)(yx如果单调连续函数在某区间内可导，则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有1dydxdydx1()()fxy或证因为的反函数()()yfxxy是()[()]xyfx所以有dxdydydx1上式两边对x求导得xyf1或dydxdxdy1或1()()fxy所以0)(ydydx2.2.4反函数的求导法则前页结束后页章）内单调且可导，在区间（而2,2sinyx,0cos)(sinyyy且解：y=arcsinx是x=siny的反函数因此在对应的区间（-1，1）内有)(sin1)(arcsinyxxycos1y2sin11211x21(arcsin)1xxx即同理21(arccos)1xxx21(arctan)1xx21(cot)1arcxx求函数y=arcsinx的导数例8前页结束后页章22xyxyeyex1.隐函数的导数例9求方程所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得0)2(2xyeyxxyye22xeexydxdyyyx)0(2xey2.2.5隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。(,)Fxyy20yxexye即前页结束后页章例10dxdyyxy求设),2arctan(解：两边对x求导得)21()2(112yyxy1)2(12yxy得解出,y前页结束后页章)1ln(2)1(xxxexyy2可以写成函数解一][)1ln(2xxey])1ln([2)1ln(2xxexx)1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx222212)1ln()1(xxxxxyxyx求设,)1(2例11前页结束后页章)1ln(ln2xxy两边对x求导，由链导法有xxxxyy21)1ln(12222212)1ln(xxx222212)1ln()1(xxxxyx解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：两边取自然对数将函数xxy)1(2解二前页结束后页章)1ln(21)43ln(21)1l