《微积分》第一篇第二章讲义(1)极限

经济数学基础微积分•极限的求法，导数与微分的求法难点：•极限的概念，复合函数的求导法第二章.极限、导数与微分重点：一.极限的概念极限是微积分的一个基本概念，也是一个基本工具，微积分中许多概念都是由极限引入的。可以说没有极限，也就没有微积分。因此理解好极限概念，是学习后面课程的基础。主要学习两方面的极限：•数列极限•函数极限（一）数列极限1、一串数按照一定的顺序排成一列叫做一个数列..,项表示该数列的第数列的项数列中的每一个数叫做nxn.为数列的通项称nxnnxxxx简记为：;,,,,21数列也可看作是自变量取正整数（定义在正整数上的）的函数).N()(nnfxn1上跳动、－在110看下列数列：;,1,,31,21,1n;,1,,1,1,1;,,,3,2,1n;,1,1,,1,,1,1,1变化趋势：2、数列极限极限描述的是变量在某个变化过程中的变化“趋势”。人们研究变量的变化趋势，发现有三种可能：⑴变量越来越接近一个数。ax记为：;,1,,31,21,11n：例越来越接近于0.01n记为：⑵变量的绝对值越来越大。x记为：;,)1(,,3,2,12nn：例绝对值越来越大。nn)1(记为：a的绝对值:|a|0,0,00,aaaaa例如：3333000a绝对值越来越大时，还可分两种情况：;,,,3,2,11n;,,,3,2,12n⑶变量的值左右摇摆不定。这时没有记号只能说变量没有极限。;,1,1,,1,,1,1,13：例)(lim时或者nAxAxnnn.lim,}{不存在或发散否则，称数列nnnxx定义2.1（P－58）收敛，这时也称数列}{nx为极限，记为：以数列A}{nx注意：数列存在极限，等价于数列收敛。按照此定义，有：;,1,,31,21,11n：例.01limnn;,)1(,,3,2,12nn：例;,1,1,,1,,1,1,13：例极限不存在，或者称数列是发散的。【例1.1】n21limn求：解:,0212,,,2,1,21无限趋于＝，故时当数列nnnnnanna.021limnn【课本P-59例4】enn11limn718.2（二）函数的极限的极限时，函数、)(1xfx数列是一类特殊的函数，它的定义域是正整数，对于数列已经定义了极限。那么如果是一般的函数呢？即自变量是连续取值的函数，它的极限又是如何定义的？的极限时，函数、)(20xfxx的极限时，函数、)(1xfx三种情况，，包括：xxx时的情形）先讨论（x1的变化趋势。时，讨论当例xyx11.2yxo解析：,0xx时，当.01无限的趋近于xy主要看图像的“走势”定义2.2(P-60)).(limxAxfAxfx或01lim1.22.2xx中，有知，在例由定义xx01或为极限以时，称为：当Axfx)(时的情形）讨论（x2的变化趋势。时，讨论当例xyx11.2yxo解析：,0xx时，当.01无限的趋近于xy主要看图像的“走势”定义2.2’(P-60)).(limxAxfAxfx或01lim1.22.2xx中，有知，在例由定义xx01或为极限以时，称为：当Axfx)(当自变量x本身既可以取正值，也可以取负值的时候，就可以当x趋于无穷的定义定义2.2’’(P-61)).(limxAxfAxfx或为极限以时，称为：当Axfx)(01lim1.22.2xx中，有知，在例由定义xx01或的极限时，函数、当)(20xfxx的变化趋势。时，讨论当例1112.22xxyx解：)1(1112xxxxyyxo12可以看出，当x在x=1点附近变化并且趋近于1时，函数值y就充分的接近于y＝2这点。.21112xxyx时，于是当为极限。以时，趋于称当Axfxx0定义2.3(P-62)).(lim00xxAxfAxfxx或处没有极限。在点否则称函数0xxf.211lim3.221xxx－有，由定义注意：.,100xxxx但2.2.0如例点有意义在故可以不要求xxf为常数）（CCClim20xx000lim)(lim,3xxxfxxfxxxx对于00000)()(,4xxxxxxxx包括时的左、右极限、函数)(3xf的变化趋势。时，讨论当例0,10,)(03.2xxxxfx解：yxo1,)(,0xxfx当,0x若.0)(xf,1)(,0xfx当,0x若.1)(xf定义2.4(P-63).lim00LxfLxfxx或左极限.lim00RxfRxfxx或右极限由此定义，知例2.3中的f(x)在x＝0处的左、右极限分别为：0)(lim0xfx1)(lim0xfxAxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000由此定理，知例2.3中的f(x)在x＝0处的极限不存在。是“等价于”的意思。0)(lim0xfx1)(lim0xfx【定理2.1】P-64从上面可看出，极限实质是描述在自变量的某个变化过程中，函数是否有确定的变化趋势。如果有确定的变化趋势，就可能有极限，否则函数就一定没有极限。.1sinxy例如：函数（它的图象见P－62的图2－3）在x＝0点附近，函数的图象是不断的跳跃的，即变化是不确定的。当x趋近于0点时，函数没有确定的变化趋势，.1sinlim0不存在故xx、无穷小量、无穷大量4等表示。，，小，常用希腊字母穷小量，简称无穷在这个变化过程中的无为极限的变量称为在某个变化过程中，以0【定义2.5】（P－64）,021lim＝例如：因为xx是无穷小量。＝时，当所以xx21,。绝对值越来越大的变量无穷大量:定义2.6（P－64）,2lim＝例如：因为xx是无穷大量。＝时，当所以xx2,为极限的变量）（或以注意：无穷大量和无穷小量互为倒数。【例如】,212的倒数是,221的倒数是.0lim是无穷小量，即设变量1lim1就是无穷大量，即则，1即：010定理2.2无穷小量×有界变量＝无穷小量定义1.4(P-11)有界变量是有界的。则称函数有设函数)()(xfyMxfxfy1cos1sinxx，例如：都是有界变量。xxcos,sin的都是，，甚至：1cos1sinsin2xxx.1coslim0xxx【例如】求【解】),0(xx因为对于任意是有界变量，即x1cos.11cosx都满足,0lim0xx而2.2由定理.01coslim1cos0xxxxx是无穷小量，即1、用一句话来表述函数的“极限”？33lim2xx、求xx2lim30、求“极限”实质是描述在自变量x的某个变化过程中，函数是否有确定的变化趋势。如果有确定的变化趋势，就可能有极限，否则函数就一定没有极限。【复习】0（二）极限的运算1、极限的四则运算法则（P-66），那么，设BxgAxflimlim;limlim)lim()1(BAgfgf;limlim)lim()2(ABgfgf是常数其中CCAfCCf,lim)lim()3(.limlimlim,0)4(BAgfgfB则若2、一般函数极限的求法⑴求形如的极限)(lim0xfxx就是求出x趋向于时y会趋向于什么。0x,0xf【情况一】计算有意义，如果0xf)()(lim00xfxfxx则有：.2lim21xxx【例】求.1121111＝－＝有意义，且因为ff【解】.112lim21fxxx＝则有则可能有表达式：没有意义【情况二】若,0xf，)()()(xgxhxf0)(0xg而且有：)(0xh这时就计算：)(lim0)(00xfxhxx时，就有当)()(lim)(1lim00xhxgxfxxxx此时有)()(00xhxg.0)(00xh.lim0xfxx.285lim1.222xxxx：求例解：,0)2(lim2xx分母的极限,02)85(lim22xxx而分子的极限)285(2xxx实际上：,285lim22xxxx00【情况三】就分解因式，约去分子分母的公共零因子，得到新的函数，再回到情况一。0)(0xh.965lim2.2223xxxx：求例解：。都为时，分子、分母的极限当03x)3)(3()3)(296522xxxxxxx（＝而32xx＝0)(0xg且.6132lim965lim3223xxxxxxx下面一起做P72上的练习2.2221lim10xx2021.01124lim2220xxxx20040.224xxx11lim70)11()11)(11(lim0xxxxx)11(11lim0xxxx211011首先要“根式有理化”6586lim10222xxxxx)3)(2()4)(2(lim2xxxxx34lim2xxx.23242的极限求形如)(lim)2(xfx这里我们只要求会求有理分式的极限：011011limbxaxbaxaxammmmnnnnxmn,mn,0mn,mnba.mx除以方法：分子、分母同时.123lim4.2233nnnnn求极限例解：.3n分子、分母同时除以nnnn11123lim32原式.301003.123lim5.2235xxxxx求极限例解：.3x分子、分母同时除以xxxxx11123lim322原式.0100253123limxxxxx而354211123limxxxxx.001000.)13()31()12(lim6.21082xxxn求极限例解：10x分子、分母同时除以.)13()31()12(lim1082xxxx原式1082)03()30()02(2210823233294（三）两个重要的极限1sinlim.10xxx注意：这个极限可以变形为：1)()(sinlim0)(xxx重要的是这个变形的应用。1)(sin)(lim0)(xxx或型00例3.1求极限，见P72上的练习2.2，题14xxx2sin3sinlim0xxxxxxx2sin22333sinlim0xxxxxx2sin2lim33sinlim2300.231123例3.2求极限，见P72上的练习2.2，题176)3sin(lim23xxxx)2)(3()3sin(lim3xxxx)2(1lim)3()3sin(lim33xxxxx)2(1lim33sinlim303xxxxx51511exxx11lim.2注意：它的两个变形exxx1lim)1(exxx101lim)2(exxx