复合函数求导法则.

复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则可导而若)()(xuufy则复合函数)]([xfy对x的导数为dxdududydxdy这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如),(22xyyxfz它是由),(vufzxyvyxu,22及复合而成的由于f没有具体给出时在求yzxz,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。一、链式法则定理　如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．证，获得增量设tt),()(tttu则);()(tttv由于函数),(vufz在点),(vu有连续偏导数,21vuvvzuuzz当0u，0v时，01，02tvtutvvztuuztz21当0t时，0u，0v,dtdutu,dtdvtv.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzzuvwt以上公式中的导数称为全导数.dtdz上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：)].,(),,([yxyxfz如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.链式法则如图示zuvxyxzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yv称为标准法则或法则22这个公式的特征：⑴函数)],(),,([yxvyxufz有两个自变量x和y故法则中包含yzxz,两个公式；⑵由于在复合过程中有两个中间变量u和v故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有vzuz,⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘”类似地再推广，设),(yxu、),(yxv、),(yxww都在点),(yx具有对x和y的偏导数，复合函数)],(),,(),,([yxwyxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xwwzxvvzxuuzxz,ywwzyvvzyuuzyz.zwvuyx特殊地),,(yxufz其中),(yxu即],,),,([yxyxfz令,xv,yw,1xv,0xw,0yv.1yw,xfxuufxz.yfyuufyz两者的区别把复合函数],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数区别类似注此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形如),,,(21muuufz),,,(21niixxxuu),,2,1(mi则),,2,1(,1njxuuzxzjimiij从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式①用图示法表示出函数的复合关系②函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键),(),,(vufvufvu③弄清),(),,(vufvufvu仍是复合函数且复合结构与原来的f(u,v)完全相同即仍是以u,v为中间变量，以x,y为自变量的复合函数因此求它们关于x,y的偏导数时必须使链式法则),(vufuzuuvxyxvfxufvufxxvfxufvufxvvvuvuvuuu)],([)],([在具体计算中最容易出错的地方是对),(vufu再求偏导数这一步是与f(u,v)具有相同结构的复合函数易被误认为仅是u的函数，从而导致漏掉),(vufu这一项uvf原因就是不注意④求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量⑤注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导⑥vuuvff,的合并问题视题设条件例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和解xzuzxuvz1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossinttetettcossincos.cos)sin(costttet例3设),(),,(),,(),,(),,(ryyrxxyxvvyxuuvufw均满足复合函数求偏导数的条件计算wrw,（两重复合问题）解由链式法则wuvxyrrvvwruuwrwryyurxxururyyvrxxvrv故)()(ryyvrxxvvwryyurxxuuwrw同理可得)()(yyvxxvvwyyuxxuuww例4设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.解令,zyxu;xyzv记,),(1uvuff,),(212vuvuff同理有,2f,11f.22fxwxvvfxuuf;21fyzfzxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyf二、全微分形式不变性设函数),(vufz具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz;当),(yxu、),(yxv时，有dyyzdxxzdz.全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dyyzdxxzdzdxxvvzxuuzdyyvvzyuuzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzduuz.dvvz利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分,,,dzdydx来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错uxyzxtxzxzzfxyyfxfxuxtxxyxtyfxyfxfxu例5设),(),,(),,,(zxttxyzyxfu各函数满足求导条件求xu解一变量间的关系如下图所示这里变量间的关系比较混乱用全微分来解由全微分定理dzzfdyyfdxxfdudzzfdttdxxyfdxxf][dzzfdzzdxxtdxxyfdxxf)]([注意到x,z是独立自变量解二由全微分定义xtyfxyfxfxuzfztyfzu注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错dxxtyfxyfxfdu)(dzzfztyf)(故三、小结1、链式法则（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性（理解其实质）思考题设),,(xvufz，而)(xu，)(xv，则xfdxdvvfdxduufdxdz，试问dxdz与xf是否相同？为什么？思考题解答不相同.等式左端的z是作为一个自变量x的函数，而等式右端最后一项f是作为xvu,,的三元函数，写出来为xxvuxdxduufdxdz),,(.),,(),,(xvuxxvuxfdxdvvf练习题一、填空题:1、设xyyxzcoscos,则xz________________；yz________________.2、设22)23ln(yyxxz,则xz_______________；yz________________.3、设32sinttez,则dtdz________________.二、设uvuez,而xyvyxu,22，求yzxz,.三、设)arctan(xyz,而xey,求dxdz.四、设),,(22xyeyxfz(其具中f有一阶连续偏导数),求yzxz,.五、设)(xyzxyxfu,(其具中f有一阶连续偏导数),求.,,zuyuxu六、设),(yxxfz,(其具中f有二阶连续偏导数),求22222,,yzyxzxz.七、设,)(22yxfyz其中为可导函数,验证:211yzyzyxzx.八、设,],),([其中yyxxz具有二阶导数,求.,2222yzxz练习题答案一、1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos；2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx；3、.)43(1)41(3232ttt二、,])(22[222222yxxyeyyxyxyxxz)(22222])(22[yxxyeyxxyxyyz.三、xxexxedxdz221)1(.四、.2,22121fxefyyzfyefxxzxyxy五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu六、,12222121122fyfyfxz,1)1(22221222fyfyfyxyxz.222422322f