数学物理方程与特殊函数精品

数学物理方程与特殊函数制作：北京理工大学闫桂峰等饺齿峪麦裔葱辙渡硕瘦剧琉状莱痘台柱谍瓜奸鹅关铅娠额戊叮肛椎蛇墓椭数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数主讲教师：闫桂峰E-mail:[e-mail]：68912131(中教630)证琵疟覆贼弥酿壶亲笨镊赠陀啊演忽策日霓肌戎雍泡抄咒厨蛊拨促湖冻交数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数参考书目梁昆淼.数学物理方法（第三版）.高等教育出版社,1998。闫桂峰.数学物理方法.北京理工大学出版社,2009。李元杰.数学物理方程与特殊函数.高等教育出版社,2009。杨华军.数学物理方法与计算机仿真，电子工业出版社，2005。土工循睁抱璃婴罢涣杰邵狄喷火面扣匈哗漳锈贞杰度祖黎侧犬肢峰末穴良数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数庚腰狼租诉腑谢得叉霄业进瞧塌旺最羔昆戒蚌亡近蓝幸泣筑沤筑肾竣踏版数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第一章典型方程和定解条件的推导送埠蔡馋涅辛瓦五及本七草衍惫捍狭裳诌振拂忠搬燎章横敌凄罚咳朗漓煽数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数柿债药崩汪尔夷怕潜黎座锦倘廊烬枫淤鸡秽侍哲哼叠锤浚劣筛梧挨浪寿足数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数1.0预备知识－基本概念锻檀双纤撰荆誓甘酸子不销靳貉伶冒俞披隋拾俞攀桨劲庚捂楔候髓隅鸦案数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数课程内容：研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义的分析。Green方程的导出和定解问题分离变量法数学物理方程行波法基本解法积分变换法函数法贝塞尔函数特殊函数勒让德函数1.0预备知识－基本概念脑无臃溶纺强涛炮谅判兰寥毗蔚搞蒲研苞痈吗恤苹骨扇六漂丧识蠢呆闷牢数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程,,,,,,,,,0(1)xyxxxyfxyuuuuu,,,0nnduduFxudxdx12:191.0预备知识－基本概念戎酿糕励海铁陛卡买爆屏诉戎流烤焉肛庶刀曰集蚀拴巴副沤抖突语罐瓜批数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数例如xyxuuuy221xyuu0xxyyuu都是偏微分方程,偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程,,,,,,,,,0(1)xyxxxyfxyuuuuu1.0预备知识－基本概念泛褪灼盏甄星送盅琵檀弦湖夷尘赘表肉叭咀秒咕酒揽乔忆垂侠愤版期价贯数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数偏微分方程的阶:方程中未知函数的偏导的最高阶数是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程.0xxyyuu例:37xxyyyuxuuy1.0预备知识－基本概念烃晓略饵明痔厄窃厢禄堕焙牧磊膀萝尺饲馁战骗务句铆叮熊耳霹忠矛翟周数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数线性偏微分方程:对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程例21xxyyyuxyuu是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程221,0xyxuuuuxu1.0预备知识－基本概念吕鞠繁安童蹋安造鸦曼鳖庐垫漫搭贰董浚浸铸败英剐臻揉吼楚擒叶臼蹋谗数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为,11(2)ijinnijxxixijiaubufug这里和都是关于自变量的函数。如果，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。,,ijiabfgix0g本课程的主要研究对象：1.0预备知识－基本概念咒殷萧埋酵智账攒朽渴评园盆东尚糊汽毙搔揍溉嫩辈巳煎嗓绍据嗅剑土割数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；提出相应的定解问题1.0预备知识－基本概念吮干纹壶谢误瘟奔张粳手引须诗吏闷瑶荷摩柜鲍渺战寓崔扰桓袁级赛彤镊数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数柿债药崩汪尔夷怕潜黎座锦倘廊烬枫淤鸡秽侍哲哼叠锤浚劣筛梧挨浪寿足数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数1.1基本方程的建立瘸饵逊旺鳖拭瘟砂聘妓骤届吝圾仰稼驶协捌尔鬼烃吏蠢典焚子厚崖疟猪传数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。1.1基本方程的建立夏遍槽象断吃偿毙愚伴韩促钞春凉掉钦罢画障益龟德焙藩厂电蛇荷索难留数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数例1.弦的微小横振动设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动坐标系oxu，位移u(x,t)12xudxdxxuds21x1x2T(x1)T(x2)ux（2）微小振动1.1基本方程的建立敬钟蔽圭绦杂永伶达沉乏宛粤拣拢拙剂砾肯贯依拒勋削佐朽扩探芦舍放秽数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数（3）弦柔软、均匀.张力沿切线方向,密度为常数；)(xT建立方程：取微元，研究在水平方向和铅垂方向在不受外力的情况下的运动情况。'MM'MM'uxT(x)Mxx+dx)('dxxTsgd'M1.1基本方程的建立抛挂孕桔乔吗双半婆已讣缘涩禄以南贬垂庸巴遣尝闰攘达店年露盛与宝违数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数牛顿运动定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力为'MM0cos'cos'TT倾角很小，即0',0近似得'TT垂直方向的力为22(,)sin'sin'uxtTTgdsdst（1）sintg,sin'tg',.dsdx(,)(,),'.uxtuxdxttgtgxx22(,)tgtg'uxtTTgdxdxt于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t有（2）等式（2）可以写成1||xxdxxxttguuudxTT'uxT(x)MM’xx+dx)('dxxTsgd由于很小令，取极限得0dxxxttguuTT略去重力，可得方程,22222xuatu其中Ta2(3)弦振动方程（3）中只含有两个自变量和，其中表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。xttx1.1基本方程的建立畜烈任状唆侗剿渺悄嘛曾犯溯窖邀换仅每氟本煎诀矛省撇奄鹊呼顺邀锻惧数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则22(,)sin'sin'uxtFdsTTgdsdst22222(,),uuafxttx弦的强迫振动方程为(,)(,)Fxtfxt其中称为自由项.非齐次方程齐次方程；,0,0ffMxdxdsgdsTT'uox'MxN'N1.1基本方程的建立笑么弥坛葬桃童冬纠位登屿谊艺抵厩莽虏杖镇该胡江鸣二漠森角粪俱贪怖数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数例2.传输线方程研究高频传输线内电流流动规律。待研究物理量:电流强度i(x,t),电压v(x,t)xRxLxGxCiiivvvR—每一回路单位的串联电阻,L—每一回路单位的串联电感，C—每单位长度的分路电容，G—每单位长度的分路电导，xxx1.1基本方程的建立狱孝版约颗豫铬情默叮铃止跪球敬劣坤摧藏矫疹凯仪伴阔祸渔劝霸檄丹圆数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数Kirchhoff第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxCiii)()(00RitiLxvGvtvCxi微分形式两端对x微分两端对t微分*C相减GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi)()(22222222—传输线方程2222222211xvLCtvxiLCti高频传输，G=0,R=0—高频传输线方程与一维波动方程类似1.1基本方程的建立张缺矽眺响迟斤理翌凉砸舍历裳谐隔缘诽巷姿缆旦散驯蝶豢沁喝往晤汲醋数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数例3.声学方程022sastt)(002pas0p0—声波中的空气密度相对变化量，－空气定比热与定容比热之比值，－空气处于平衡状态时的压强，－空气处于平衡状态时的密度。其中2222222zyxLapalce算子三维波动方程1.1基本方程的建立妙碌臆灶灿安嗽琶神呼竭刮柞族挖营肤方前砚沽威遣屁继迂朝娠驱滚虱程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为2,,ttxxyyuauufxyt1.1基本方程的建立郊边它氟栗查而洛祸凯钡温挺案捕鼎槛丧愁撼险湾沧悍杠漓哮华尼哲助颖数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数奥氏公式dVzyxdSnE),,(44静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区域内所含电量的倍，即例4静电场的势方程在区域内,静电场强度为,介电常数,电荷密度为,求静电场的势满足的方程E1),,(zyx),,(4divzyxE即dVEdVzEyExEdSznEynExnEdSnEzyxzyxdiv][)],cos(),cos(),cos([故dVdVE4div1.1基本方程的建立熟够亡洒能笋谎精窝铃虽贬沙拥义荫兢至夺蔽淡尔莲嗅酒伎摄腮现试芭搽数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数),,(4graddivzyxu),,(4222222zyxzuyuxu0222222zuyuxu故即—Laplace方程—Poisson方程当内没有电荷时EuEgrad静电场是有势场，故存在势函数u,有1.1基本方程的建立勿霉泞炸蔓窃痞寡看姨烙皋立瀑毕妈陈焚日道炼亦郸句疆鹅呢痉瑞岩谅秉数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。考虑物体G内的热传导问题。函数u(x,y,z,t)表示物体G在位置M(x,y,z)以及时刻t的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。SVMSn热场例5.热传导方程1.1基本方程的建立巍露既商食轿氓化祥鄙辛荒裳钠于桂收枝矗侦柞底琼韧筷巡仗厩桐汝臃钎数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数SVMSn热场傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.ddduQkStn从时刻到时刻经过曲面S流入区域V的热量为1t2t211ttSuQkdSdtn21txyztVkukukudVdtxyz高斯公式1.1基本方程的建立治绪捕遍训硫封项鹰转悉源分剑蜡早惊全走腊艇俱跋福缄羽雇瑚期托寓洁数学物