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题型三切线的相关证明与计算(9年7考)类型二圆与直角三角形针对演练1.(2017长沙中考模拟卷七)如图,已知△ABC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E为AD︵的中点,连接CE交AB于点F,且BF=BC.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,sinB=45,求CE的长.第1题图2.(2017南京)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交⊙O于点D.(1)求证:PO平分∠APC;(2)连接DB,若∠C=30°,求证:DB∥AC.第2题图3.(2017张家界)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB、AC相交于点D、E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)分别延长CB、FD,相交于点G,∠A=60°,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积.第3题图4.如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,且PB=PA.(1)求证:直线PB是⊙O的切线;(2)已知:DBBP=2,求cos∠BCA的值.第4题图5.(2017南雅第七次阶段检测)如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,连接CO并延长,交⊙O于点D、E,连接AD并延长,交BC于点F,连接BD、BE.(1)试判断∠CBD与∠CEB是否相等,并证明你的结论;(2)求证:BDBE=CDBC;(3)若BC=2AB,求tan∠CDF的值.第5题图6.(2017娄底)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,点E是AC的中点,OE交CD于点F.(1)若∠BCD=36°,BC=10,求BD︵的长;(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(3)求证:2CE2=AB·EF.第6题图7.(2017青竹湖湘一二模)如图,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且点C是劣弧AG的中点,过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若ED=3DB,求证:3OF=2DF;(3)在(2)的条件下,连接AD,若CD=3,求AD的长.第7题图答案1.解:(1)BC与⊙O相切.理由如下:如解图,连接AE,∵AC是⊙O的直径,∴∠E=90°,∴∠EAD+∠AFE=90°,∵BF=BC,∴∠BCE=∠BFC,∵点E为AD︵的中点,∴AE︵=DE︵,∴∠EAD=∠ACE,∴∠ACB=∠BCE+∠ACE=∠BFC+∠EAD=∠EAD+∠AFE=90°,∴AC⊥BC,∵AC为⊙O的直径,∴BC与⊙O相切;(2)∵⊙O的半径为2,∴AC=4,∵∠ACB=90°,∴sinB=ACAB=45,∴AB=5,∴BC=AB2-AC2=3,∵BF=BC,∴BF=3,AF=5-3=2,∵∠EAF=∠ECA,∠E=∠E,∴△AEF∽△CEA,∴EAEC=AFCA=24=12,∴EC=2EA,设EA=x,则EC=2x,在Rt△AEC中,由勾股定理得:AE2+EC2=AC2,即x2+4x2=16,解得x1=455,x2=-455(舍去),∴EA=455,CE=855.2.证明:(1)如解图,连接OB,∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,又∵OA=OB,∴PO平分∠APC;(2)∵OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°,∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°,∵PO平分∠APC,∴∠OPC=12∠APC=12×60°=30°,∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°,又∵OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∴∠OBD=60°,∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°,∵∠DBP=∠C,∴DB∥AC.3.(1)证明:如解图,连接OD,∴OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∵AC=BC,∴∠A=∠OBD,∴∠ODB=∠A,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD为⊙O的半径,∴DF是⊙O的切线;(2)解:∵∠A=60°,AC=BC,OB=OD,∴∠C=∠DOB=60°,由(1)知∠ODG=90°,∴∠G=30°,∵OD=6,∴DG=ODtan30°=633=63,∴S阴影=S△ODG-S扇形DOB=12×6×63-60π×62360=183-6π.4.(1)证明:如解图,连接OB、OP,在△OBP和△OAP中,PB=PAPO=POBO=AO,∴△OBP≌△OAP(SSS),∴∠PBO=∠PAO,∵PA⊥CA,∴∠PAC=90°,∴∠PBO=∠PAO=90°,∴OB⊥PB,∵OB是⊙O的半径;∴直线PB是⊙O的切线;(2)解:由(1)可知△OBP≌△OAP,∴∠POB=∠POA,∴∠BCA=12∠AOB=∠POB=∠POA,∴BC∥PO,∴DCCO=DBBP=2,设BP=a,BD=2a,∴PA=a,由勾股定理得:DA=DP2-PA2=22a,∴DC=2a,AO=CO=22a.由勾股定理得:PO=AO2+PA2=62a,∴cos∠BCA=cos∠POA=22a62a=33.5.(1)解:∠CBD=∠CEB,证明如下:∵AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,∴∠CBD=90°-∠OBD,又∵DE过⊙O的圆心,∴∠DBE=90°,OB=OD,∴∠CEB=90°-∠ODB,∠ODB=∠OBD,∴∠CBD=∠CEB;(2)证明:∵在△CBD和△CEB中,∵∠CBD=∠CEB,∠C=∠C,∴△CBD∽△CEB,∴BDBE=CDBC;(3)解:∵BC=2AB,OB=12AB,∴在Rt△OBC中,OC=32AB,∴CD=OC-OD=AB,∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90°,∵∠CDF=∠ADE=∠ABE=∠BED,∴tan∠CDF=tan∠BED=BDBE=CDBC=AB2AB=22.6.(1)解:如解图,连接OD,∵∠BCD=36°,∴∠BOD=2∠BCD=2×36°=72°,∵BC是⊙O的直径,且BC=10,∴lBD︵=72π×5180=2π;(2)解:DE是⊙O的切线.理由如下:∵BC是⊙O的直径,∴∠ADC=180°-∠BDC=90°,又∵点E是线段AC的中点,∴DE=AE=EC=12AC,在△DOE与△COE中,∵OD=OCOE=OEDE=CE,∴△DOE≌△COE,∵∠ACB=90°,∴∠ODE=∠OCE=90°,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;(3)证明:∵△DOE≌△COE,∴OE是线段CD的垂直平分线,DE=CE,∠EFC=90°,∴点F是线段CD的中点,∵点E是线段AC的中点,∴EF12AD,∠ADC=∠EFC=90°,在△ACD与△ABC中,∠BAC=∠CAD,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC,则ACAB=ADAC,即AC2=AB·AD,又∵AC=2CE,AD=2EF,∴(2CE)2=AB·2EF,即4CE2=AB·2EF,∴2CE2=AB·EF.7.(1)证明:如解图①,连接OC、AC、CG,∵AC︵=CG︵,∴AC=CG,∴∠ABC=∠CBG,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠OCB=∠CBG,∴OC∥BG,∵CD⊥BG,∴OC⊥CD,∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;(2)证明:∵OC∥BD,∴∠CFO=∠DFB,∠OCB=∠CBD,∠EOC=∠EBD,∴△OCF∽△DBF,△EOC∽△EBD,∴OCBD=OFDF,OCBD=OEBE,∴OFDF=OEBE,∵ED=3DB,∠EDB=90°,∴∠E=30°,∴OC=12OE,∵OA=OC,∴AE=OA=OC=OB,∴OFDF=OEBE=2OA3OA=23,即3OF=2DF;(3)解:如解图②,过A作AH⊥DE,交DE于点H,∵∠E=30°,∴∠EBD=60°,∵∠ABC=∠CBD,∴∠CBD=12∠EBD=30°,∵CD=3,∴BD=CDtan30°=33,∴BE=33sin30°=63,DE=3BD=9,∵AE=13BE,AH∥BD,∴AH=13BD=3,DH=23DE=6,∴AD=(3)2+62=39.
本文标题:2018年长沙中考数学专题复习类型二圆与直角三角形(切线的相关证明与计算)
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