2018年长沙中考数学专题复习类型二圆与直角三角形(切线的相关证明与计算)

题型三切线的相关证明与计算（9年7考）类型二圆与直角三角形针对演练1.(2017长沙中考模拟卷七)如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为AD︵的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，sinB＝45，求CE的长．第1题图2.(2017南京)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第2题图3.(2017张家界)在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC相交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB、FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．第3题图4.如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，且PB＝PA.(1)求证：直线PB是⊙O的切线；(2)已知：DBBP＝2，求cos∠BCA的值．第4题图5.(2017南雅第七次阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F，连接BD、BE.(1)试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；(2)求证：BDBE＝CDBC；(3)若BC＝2AB，求tan∠CDF的值．第5题图6.(2017娄底)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD︵的长；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2＝AB·EF.第6题图7.(2017青竹湖湘一二模)如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若ED＝3DB，求证：3OF＝2DF；(3)在(2)的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．第7题图答案1.解：(1)BC与⊙O相切．理由如下：如解图，连接AE，∵AC是⊙O的直径，∴∠E＝90°，∴∠EAD＋∠AFE＝90°，∵BF＝BC，∴∠BCE＝∠BFC，∵点E为AD︵的中点，∴AE︵＝DE︵，∴∠EAD＝∠ACE，∴∠ACB＝∠BCE＋∠ACE＝∠BFC＋∠EAD＝∠EAD＋∠AFE＝90°，∴AC⊥BC，∵AC为⊙O的直径，∴BC与⊙O相切；(2)∵⊙O的半径为2，∴AC＝4，∵∠ACB＝90°，∴sinB＝ACAB＝45，∴AB＝5，∴BC＝AB2－AC2＝3，∵BF＝BC，∴BF＝3，AF＝5－3＝2，∵∠EAF＝∠ECA，∠E＝∠E，∴△AEF∽△CEA，∴EAEC＝AFCA＝24＝12，∴EC＝2EA，设EA＝x，则EC＝2x，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＋EC2＝AC2，即x2＋4x2＝16，解得x1＝455，x2＝－455(舍去)，∴EA＝455，CE＝855.2.证明：(1)如解图，连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又∵OA＝OB，∴PO平分∠APC；(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∵∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.3.（1）证明：如解图，连接OD，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD，∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD，∴∠C＝∠DOB＝60°，由(1)知∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∵OD＝6，∴DG＝ODtan30°＝633＝63，∴S阴影＝S△ODG－S扇形DOB＝12×6×63－60π×62360＝183－6π.4.(1)证明：如解图，连接OB、OP，在△OBP和△OAP中，PB＝PAPO＝POBO＝AO，∴△OBP≌△OAP(SSS)，∴∠PBO＝∠PAO，∵PA⊥CA，∴∠PAC＝90°，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴OB⊥PB，∵OB是⊙O的半径；∴直线PB是⊙O的切线；(2)解：由(1)可知△OBP≌△OAP，∴∠POB＝∠POA，∴∠BCA＝12∠AOB＝∠POB＝∠POA，∴BC∥PO，∴DCCO＝DBBP＝2，设BP＝a，BD＝2a，∴PA＝a，由勾股定理得：DA＝DP2－PA2＝22a，∴DC＝2a，AO＝CO＝22a.由勾股定理得：PO＝AO2＋PA2＝62a，∴cos∠BCA＝cos∠POA＝22a62a＝33.5.(1)解：∠CBD＝∠CEB，证明如下：∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，∴∠CBD＝90°－∠OBD，又∵DE过⊙O的圆心，∴∠DBE＝90°，OB＝OD，∴∠CEB＝90°－∠ODB，∠ODB＝∠OBD，∴∠CBD＝∠CEB；(2)证明：∵在△CBD和△CEB中，∵∠CBD＝∠CEB，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CEB，∴BDBE＝CDBC；(3)解：∵BC＝2AB，OB＝12AB，∴在Rt△OBC中，OC＝32AB，∴CD＝OC－OD＝AB，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠CDF＝∠ADE＝∠ABE＝∠BED，∴tan∠CDF＝tan∠BED＝BDBE＝CDBC＝AB2AB＝22.6.(1)解：如解图，连接OD，∵∠BCD＝36°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，∵BC是⊙O的直径，且BC＝10，∴lBD︵＝72π×5180＝2π；(2)解：DE是⊙O的切线．理由如下：∵BC是⊙O的直径，∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，又∵点E是线段AC的中点，∴DE＝AE＝EC＝12AC，在△DOE与△COE中，∵OD＝OCOE＝OEDE＝CE，∴△DOE≌△COE，∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：∵△DOE≌△COE，∴OE是线段CD的垂直平分线，DE＝CE，∠EFC＝90°，∴点F是线段CD的中点，∵点E是线段AC的中点，∴EF12AD，∠ADC＝∠EFC＝90°，在△ACD与△ABC中，∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，则ACAB＝ADAC，即AC2＝AB·AD，又∵AC＝2CE，AD＝2EF，∴(2CE)2＝AB·2EF，即4CE2＝AB·2EF，∴2CE2＝AB·EF.7.(1)证明：如解图①，连接OC、AC、CG，∵AC︵＝CG︵，∴AC＝CG，∴∠ABC＝∠CBG，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)证明：∵OC∥BD，∴∠CFO＝∠DFB，∠OCB＝∠CBD，∠EOC＝∠EBD，∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，∴OCBD＝OFDF，OCBD＝OEBE，∴OFDF＝OEBE，∵ED＝3DB，∠EDB＝90°，∴∠E＝30°，∴OC＝12OE，∵OA＝OC，∴AE＝OA＝OC＝OB，∴OFDF＝OEBE＝2OA3OA＝23，即3OF＝2DF；(3)解：如解图②，过A作AH⊥DE，交DE于点H，∵∠E＝30°，∴∠EBD＝60°，∵∠ABC＝∠CBD，∴∠CBD＝12∠EBD＝30°，∵CD＝3，∴BD＝CDtan30°＝33，∴BE＝33sin30°＝63，DE＝3BD＝9，∵AE＝13BE，AH∥BD，∴AH＝13BD＝3，DH＝23DE＝6，∴AD＝（3）2＋62＝39.