【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件：第十一章 第二节证明不等式的基本方法

第二节证明不等式的基本方法1.三个正数的算术—几何平均值不等式(1)如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3___3abc，当且仅当______时，等号成立.(2)如果a,b,c∈__，那么___当且仅当______时，等号成立.即：三个正数的算术平均值_______它们的几何平均值.≥a=b=cR+≥abc33abc，a=b=c不小于(3)对于n个正数a1,a2,…，an，它们的算术平均值_______它们的几何平均值，即___当且仅当___________时，等号成立.不小于12naaan≥n12naaa，a1=a2=…=an2.比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较法和作商比较法两种.名称理论依据证明步骤作差比较法ab⇔______;ab⇔______;a=b⇔a-b=0作差→变形→判断符号→得出结论作商比较法b0,1⇒____;b0,1⇒ab作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论a-b0a-b0ababab3.综合法与分析法(1)综合法：一般地，从_________出发，利用_____、公理、_____、性质等，经过一系列的_____、_____而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法(2)分析法：证明命题时，从___________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至所需条件为_________或__________________(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法.要证的结论条件已知条件一个明显成立的事实充分4.反证法(1)假设要证的命题_______，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和___________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明___________，我们把它称为反证法.(2)证明步骤：反设→归谬→肯定原结论.不成立命题的条件原命题成立5.放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_____或_____，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.(2)理论依据a＞b,b＞c⇒a___c.放大缩小＞判断下面结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”).(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.()(3)分析法又叫递推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.()(5)放缩法就是把分式的分子放大，分母缩小.()【解析】(1)错误.当使用作商比较法时要判断与1的大小关系才能得出结论.(2)正确.根据综合法的定义可得结论正确.(3)错误.根据分析法的定义，应把“必要条件”改为“充分条件”才是正确的结论.(4)错误.根据反证法的定义，“反设”能作为已知条件充分使用.(5)错误.不符合放缩法的定义.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×1.设t=a+2b,s=a+b2+1，则s与t的大小关系是()(A)s≥t(B)st(C)s≤t(D)st【解析】选A.∵s-t=(a+b2+1)-(a+2b)=b2-2b+1=(b-1)2≥0,∴s≥t.2.若abc,则一定成立的不等式是()(A)a|c|b|c|(B)abac(C)a-|c|b-|c|(D)【解析】选C.当c=0时，选项A不成立；当a0时，选项B不成立；当a=1,c=-1时，选项D不成立;∵ab,∴选项C成立.111abc3.已知0a,b1，用反证法证明a(1-b),b(1-a)不能都大于时，反设正确的是()(A)a(1-b),b(1-a)都大于(B)a(1-b),b(1-a)都小于(C)a(1-b),b(1-a)都大于或等于(D)a(1-b),b(1-a)都小于或等于【解析】选A.“不能都大于”的否定是“都大于”.14141414144.若x0,y0,则P，Q的大小关系是()(A)P=Q(B)PQ(C)P≤Q(D)PQ【解析】选B.即PQ.xyxyP,Q1xy1x1y，xyxyxyQP,1x1y1xy1yx1xy5.函数f(x)=3x+(x0)的最小值为____.【解析】当且仅当即x=2时等号成立.答案:9212x3222123x3x123x3x12fx3x39x22x22x，23x12,2x考向1用比较法证明不等式【典例1】(1)(2013·荆门模拟)已知p=x6+1,q=x4+x2,x∈R，则有()(A)p≥q(B)pq(C)p≤q(D)pq(2)(2013·咸宁模拟)已知0＜a＜,且则M，N的大小关系是____.1babN,1a1b11M,1a1b(3)求证：①当x∈R时，1+2x4≥2x3+x2；②当a,b∈(0,+∞)时，aabb≥【思路点拨】(1)用作差比较法判断证明.(2)可用作差比较法，也可用作商比较法.(3)第①小题的不等式为一元型的整式不等式，可以考虑采用作差比较法；而第②小题是幂指型的不等式，可考虑采用作商比较法.ab2ab.【规范解答】(1)选A.∵p-q=(x6+1)-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1),当x=±1时，p=q;当x≠±1时，pq,∴p≥q,故选A.(2)方法一:M-N=由已知a＞0,b＞0且ab＜1,∴1-ab＞0，即M＞N.方法二:∵0a,∴0ab1,∴2ab2,∴a+b+2ab2+a+b,即又M0,N0,∴MN.答案:M＞N11ab1a1b1a1b1a1b1a1b21ab,1a1bM2ab,Nab2ab1b2ab1.ab2ab(3)①方法一：(1+2x4)-(2x3+x2)=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(2x3-2x+x-1)=(x-1)［2x(x2-1)+(x-1)］=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2［2(x+)2+］≥0,∴1+2x4≥2x3+x2.1212方法二：(1+2x4)-(2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0，∴1+2x4≥2x3+x2.②当a=b时，当ab0时，1,0,当ba0时，01,0,∴abbaabab222ab2abaab(),babab2a()1b；abab2ab2a()1b；abab2ab2a()1.babab2abab.【互动探究】保持例(3)第②小题的条件不变.①若ab,则(a2+b2)(a-b)与(a2-b2)(a+b)的大小关系为____.②证明abba≤【解析】①∵(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b)=(a-b)［(a2+b2)-(a+b)2］=-2ab(a-b),又∵0ab,∴-2ab0,a-b0,∴-2ab(a-b)0,即(a2+b2)(a-b)(a2-b2)(a+b).答案:(a2+b2)(a-b)(a2-b2)(a+b)ab2ab.②当a=b时，当ab0时，01,当ba0时，1,∴abababbaba222ab2abbab().aabab2b()1a；baab2abb0,()1;2abaab2abb0,()1,2abaabba2ab2ab1,abab.ab即【拓展提升】1.作差比较法(1)作差比较法证明不等式的一般步骤①作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差；②变形：将差式进行变形，化简为一个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积，或配方变形为一个或几个平方和等；③判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号；④结论：肯定不等式成立的结论.(2)作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤①作商：将不等式左右两边的式子，进行作商；②变形：将商式的分子放(缩)，分母不变，或分子不变，分母放(缩)，或分子放(缩)，分母缩(放)，从而化简商式为容易和1比较大小的形式；③判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1；④结论.(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法.【提醒】在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.【变式备选】(1)求证:(x+1)(x2++1)＞(x+)·(x2+x+1).【证明】因为(x+1)(x2++1)=(x+1)(x2+x+1-)=(x+1)(x2+x+1)-(x+1),(x+)(x2+x+1)=(x+1-)(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)-(x2+x+1).x212x2x2x2121212作差得(x+1)(x2++1)-(x+)(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)-(x+1)-(x+1)(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)-(x2+x)=＞0,∴(x+1)(x2++1)＞(x+)(x2+x+1).x21212x212121212x2(2)设ab0，求证：【证明】方法一：∵ab0,∴左边-右边=故原不等式成立.2222abab.abab22222abababab(ab)［］222abab0,abab方法二：且由ab0，知∴22222222abababababababab22222abab2ab11,abab0,ab2222abab.abab考向2用综合法证明不等式【典例2】已知a,b,c＞0且互不相等,abc=1.试证明:【思路点拨】本题可用abc=1代换中的a,b,c，然后利用基本不等式证明或者利用基本不等式从右向左证明.111abc.abc＜a,b,c【规范解答】方法一：∵a,b,c＞0，且互不相等，abc=1，∴方法二：∵111111111bcacababcbcacab222＜111111,abc.abcabc即＜11122c;abab11122a;bcbc11122b.caac∴以上三式相加，得又∵a,b,c互不相等,∴方法三:∵a,b,c是互不相等的正数，且abc=1,∴∴111abc.abc111abc.abc＞111abc.abc＜111bccacaabbccaababc22222abbcabcabcabcabc2＞，【拓展提升】综合法证明时常用的不等式(1)a2≥0.(2)|a|≥0.(3)a2+b2≥2ab，它的变形形式有a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;a2+b2≥(a+b)2;12222abab.22（）(4)它的变形形式有(5)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.abab,21aba2a0;2ab0;abaab2ab0.ba【变式训练】(1)(2013·黄冈模拟)函数f(x)=g(x)=(x≠0),则f(x)与g(x)的大小关系是()(A)f(x)g(x)(B)f(x)≥g(x)(C)f(x)