4-几种重要随机过程-1

随机过程的定义定义1设(Ω,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。X(t,ω)（t∊T,ω∊Ω)是定义在T和Ω上的二元函数。若对于任意固定的t∊T，X(t,ω)是(Ω,ℱ,P)上的随机变量，则称随机变量族{X(t,ω),t∊T,ω∊Ω}是(Ω,ℱ,P)上的随机过程。t称为参数，T称为参数集。把随机过程X(t,ω)在t时刻的取值称为该随机过程在t时刻所处的状态；一个随机过程所有状态构成的集合称为状态空间（或值域），记为。{:(,),,}ExXtxtT随机过程的定义定义2设(Ω,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。X(t,ω)（t∊T,ω∊Ω)是定义在T和Ω上的二元函数。若对于任意固定的ω∊Ω，总有一个t的函数X(t,ω)（t∊T）与之对应,对于所有的ω∊Ω，就得到一族确知的t的函数，则称这一族t的函数的集合{X(t,ω),t∊T,ω∊Ω}是(Ω,ℱ,P)上的随机过程。其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个实现。随机过程的定义随机过程X(t,ω)（t∊T,ω∊Ω)在不同情况下的含义：（1）当t和ω都是变量时，是一个时间函数族，或依赖与t的随机变量族；（2）当t是变量、ω固定时，是一个确定的时间函数（样本函数）；（3）当t固定、ω是变量时，是一个随机变量；（4）当t和ω固定时，是一个确定的值。复随机过程1、定义设{X(t),t∊T}和{Y(t),t∊T}是两个实随机过程，定义复随机过程{Z(t),t∊T}为复随机过程Z(t)的概率密度由实随机过程X(t)和Y(t)的n+m维联合概率密度给出，即fXY(x1,…,xn;y1,…,ym;t1,…,tn;t'1,…,t'm)()()()ZtXtiYt复随机过程2、数字特征（1）均值函数：（2）方差函数：（3）自相关函数：（4）自协方差函数：()[()][()][()]()()ZXYmtEZtEXtiEYtmtimt2()()()()ZZXYDtEZtmtDtDt1212(,)[()()]ZRttEZtZt121122(,){[()()][()()]}ZZZCttEZtmtZtmt,zzDtCtt________,,zzzzCstRstmsmt复随机过程2、数字特征（5）均方值函数：（6）互相关函数：（7）互协方差函数：12121122(,)[()()]ZZRttEZtZt121212111222(,){[()()][()()]}ZZZZCttEZtmtZtmt2()[|()|](,)ZZtEZtRtt复随机过程例：设复随机过程其中相互独立，且是常数，求均值函数和自相关函数解：1knitkkZtAe1,2,kAkn2~0,,1,2,,kkANkn1,2,kknZtcossinixexix11cossinnnkkkkkkZtAtiAt11cossin0nnzkkkkkkmtEZtEAtiEAt复随机过程因0zmt__________________1111,,kkkkzznnisitkjkjnnistjkjkCstRstEZsZtEAeAeEAAe0,jkjkEAAEAEAjk2211,kknnististzkkkkRstEAee作业随机过程的基本概念作业：习题二中的1，4，7，14，16，18，19几种重要随机过程正态过程（高斯过程）独立过程独立增量过程维纳过程泊松过程4.1.1正态分布（高斯分布）定义1：如果随机变量X的概率密度为则称X为服从参数的正态分布，记为，其中，为均值；为方差。分布函数为当时的正态分布称为标准正态分布，记为。分布函数22()21(),2xfxex2(,)XN220,122()21()()2txxFxedt()()Fxx(0,1)XN4.1正态过程(高斯过程)4.1.1正态分布（高斯分布）定义2：如果n维随机变量的概率密度为其中，为均值向量，为协方差矩阵，则称X服从n维正态分布，称X为n维正态随机变量。n维正态分布完全由一阶矩和二阶矩所确定。1()21221()(2)||nfe-1x-μ)C(x-μxC12(,,,)nXXXX12(,,,)nxxxx12(,,,)nμ(),cov(,)ijnnijijccXXC221122222121212212121,21xxyyfxye11111()exp()exp()22nnnkkijjkkjkiiucuuuμuuCu4.1.1正态分布（高斯分布）特征函数为222222222211222121212xiuxXtiuttuiiuiuueedxeedteedte2222121122122,iuvuuvvuve4.1.1正态分布（高斯分布）用特征函数与矩的关系：121110(,,,)[]()nnkkkuuuuuuEXiu1222110(,,,)[]()nnikikikikuuuuuuEXXiCuu[()()][]kkiikikikiEXXEXXC121121212()1112120(,,,)[]()nnjjnnnkkkkkkknnkkknuuuuuuEXXXiuuu4.1.1正态分布（高斯分布）n维正态随机变量的性质：（1）（n维正态分布的边沿分布）设是n维正态随机向量，则X的任一子向量也服从正态分布。12(,,,)nXXXX12(,,,)()mkkkXXXmnbX(,)NXuC(,)NbbbXuC12(,,,)mkkkbμCb是保留C的第k1,k2,…,km行和列所得到的m×m矩阵4.1.1正态分布（高斯分布）n维正态随机变量的性质：（2）（独立性）定理1：n维正态分布的随机变量相互统计独立的充要条件是它们两两互不相关。定理2：若X是正态分布的随机向量，X1和X2是X的两个子向量，即，则X1与X2相互统计独立的充要条件是它们的互协方差矩阵为0。12,,,nXXX12(,)XXX4.1.1正态分布（高斯分布）n维正态随机变量的性质：（3）（线性变换）设是n维正态随机变量，均值为，协方差矩阵为C。若，其中，则。若e=(ejk)是m×n矩阵,是m×1的列矩阵，即m维向量，则。12(,,,)nXXXX12[](,,,)nEXμ1nkkkYaXaX12(,,,)naaaa[],[]EYDYaμaCaZeX[],[]EDZeμZeCe4.1.1正态分布（高斯分布）n维正态随机变量的性质：（3）（线性变换）定理1：服从n维正态分布的充要条件是它的任何一个线性组合服从一维正态分布。定理2：若服从n维正态分布，而若e=(ejk)是m×n矩阵,则服从m维正态分布。(,)NeμeCe12(,,,)nXXXX1nkkkYaXaXZeX(,)NμC111(,)nnnkkkikikkiNaaaC12(,,,)nXXXX(,)NμC正态分布随机变量的线性变换不变性设随机变量(X,Y)~N(μ,C)，其中，求随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)和特征函数解：由已知，故(X,Y)的概率密度为4.1.1正态分布（高斯分布）123,235C,uv1511,32CC1221'21253111,22322156222521,21212CxxyyxxyyxyfxyeCeexμxμ221''22311,2,352122652,iCuuiuvvviuvuuvvuveeeμuuu例为零均值4维正态随机变量证明：4.1.1正态分布（高斯分布）1234,,,XXXXX1234123413241423EXXXXEXXEXXEXXEXXEXXEXX222221212122EXXEXEXEXX124411,,1exp2XXnijijijuuuuuEXXu4123412340,0,0,0XEXXXXuuuu41ijijjLuEXX令4.1.1正态分布（高斯分布）11Lu2121212LLEXXuu3123312213123123LLLLEXXLEXXLEXXuuu123412341324414232314241312343412123413241423LLLLLLEXXLLEXXLLEXXLLEXXLLEXXuuuuLLEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXX0|0iuL41ijijjLuEXX4.1.2正态随机过程（高斯过程）定义：若随机过程{X(t),t∊T},对于任意n个时刻t1,t2,…,tn∊T,n维随机变量[X(t1),X(t2),…,X(tn)]的联合概率分布为n维正态分布，则称{X(t),t∊T}为正态过程（或高斯过程）。一维特征函数：设{X(t),t∊T}为正态过程，则其有限维概率分布都是正态分布一维概率分布：mtEXtDtDXt~,XtNmtDt21,exp22xmtftxDtDt21,exp2tuimtuDtu4.1.2正态随机过程（高斯过程）n维概率分布：'12,,~,nXtXtXtNCμ-1121221211(,,,;,,,)exp[()()](2)||2nnnfxxxtttxμCxμC12()()()nmtmtmtμ111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnCttCttCttCttCttCttCttCttCttCn维特征函数：121(,,,)exp()2nuuuiμuuCu4.1.2正态随机过程（高斯过程）性质：（1）正态过程{X(t),t∊T}的n维概率密度及特征函数完全由它的均值向量和协方差矩阵所确定。（二阶矩过程）（2）对于正态过程，独立性和不相关性是等价的。若一个正态过程{X(t),t∊T}在任意n个时刻t1,t2,…,tn∊T,采样，所得的n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)两两互不相关，则，这些随机变量也是相互独立的。对于多个正态过程，若两两互不相关，则两两相互独立。[证明]X(t1),X(t2),…,X(tn)两两互不相关，则协方差函数20,,(,),.ikiikCttik当当21222000000nC212122100100100n