大学概率论――第五章 习题解

P1581、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于三倍均方差的概率。解：设随机变量为X，EX2DX3PXEXDX则3PX22319占的比例与之差小于1％的概率。16P1582、现有一大批种子，其中良种占1,6今在其中任选6000粒，试问在这些选出的种子中良种所解：设X={6000粒种子中的良种数}则1~6000,,6XB516660002(0.01)12(0.01120036)1则160006EX100015600066DX250031(1%)60006XP2(2.08)12(0.012063)10.962420.98121120iiX个终端中第个终端在使用~120,0.05iXB1200.05EX10PX110PX0.60.6100.61()5.75.7XP41()5.741()2.387P1593、某计算机系统有120个终端，每个终端有5％的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。解：设则1200.050.95DX5.71(1.675)10.95250.0475P1594、某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使含有100只合格品的概率不小于0.95。解：P1595、某实验室有150台仪器，各自独立工作，每台仪器平均只需70%的工作时间，而每台仪器工作时要消耗的电功率为E，试问要供应这个实验室多少电功率才能以99.9%的概率保证这个实验室不致因为供电不足而影响工作。解：设X={150台仪器工作的机床数}则~150,0.7XB由题意知：供应电功率N个单位使0.999PEXN1500.7()1500.70.3NE105()31.5NE查正态分布表得1053.0131.5NE10516.8936NE121.8936NE121.8936NE122NEP1596、设各零件的重量是随机变量，它们相互独立，且服从相同分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解：设Xi={5000只零件中i个零件的总重量}50001iiXX则0.5iEX0.1iDX由独立同分布的中心极限定理知50000.5~0,150000.1XN（近似服从）则2510PX12510PX50000.5251050000.51()50000.150000.1XP251025001()521(1.414)10.92140.07867、计算机在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的，且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布，1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？2）最多可有多少个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9。解：设ii个加数取整后的误差~0.5,0.5iU则0iE112iD1,2,i1500个数相加的总误差15001ii1)15P151()1200/121200/12P15151()1200/121200/121200/12P15151[()()]1200/121200/12152[1()]1200/120.179742）设nn个数相加的总误差1nnii0nnaE则212nnnD10nP10()/12/12nPnn1010()/12/12/12nPnnn102()1/12n122(10)1n0.9查正态分布表得12101.645n443.45n所以，至多444个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9。8、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解：利用拉普拉斯中心极限定理从一批木柱中随机地取出100根，不放回抽样近似的看作放回抽样。对100根母猪长度测量看成进行100次贝努里试验，设随机变量10.2,iPX1i30m0i30miX第根木柱长度短于第根木柱长度不短于00.8,iPX1001iiXX表示100根木柱中长度短于3m的根数则~100,0.2XB1000.220EX且1000.20.816DX由中心极限定理知30130PXPX20302011616XP2012.516XP12.510.99380.00629、设