第四章 控制系统的传递函数(1)

延时定理)()]([sFtf设则对任意正数to，有)()]()([sFettfttustooo][sin)]sin()([tettttustooostnknnsstsmiiiesBsAssdsdnesBsAtfki)()()(lim)!1(1)(')()(111nppnkpmiiisskssksBsAsF1111)()()(issiisssFk))((kssnksssFk))((11kssnkpppsssFdsdpk))(()!1(1111直接求解法查表法②留数法系数的求法:①系数比较法第一节典型环节传递函数第四章控制系统的传递函数1.传递函数的概念传递函数是在拉氏变换的基础上建立起来的一种数学模型，是经典控制论中对线性系统进行研究、分析与综合的重要数学工具。•更直观，物理意义更明确；•微积分变为代数运算；•直接导出系统的某些动态特性；•频域法以传递函数为基础因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应的拉氏变换。定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。即，)()()(sXsXsGio特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)关于传递函数的几点说明(P38)2.传递函数的性质①传递函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及性质无关；即②传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数；③传递函数可以有量纲，也可以无量纲；④传递函数是s的有理分式；⑤若传递函数分母s的最高阶次为m，则该系统为m阶系统mmmmnnnniobsbsbsbasasasasXsXsG2211022110)()()(一般地,传递函数的表达式为......)(2211ioioXXXXsG3.典型环节传递函数系统总是由各种元件组成，这些元件可能是机械的、液压的、热力学的，也可能是电气的、光学的，或者几者兼而有之。不管这些元件的属性如何，只要其动态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。如果把系统的元件按其运动方程(微分方程)的形式来分类，就得到各种不同的动态环节,简称环节。这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。①比例环节凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，又称P调节器。比例环节运动方程为xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为)()()(sXsXsGiok为比例环节的增益或称为放大系数k例1解求一对齿轮传动的传递函数忽略传动间隙z1z2ni(t)no(t)ionnkzz21∴G(s)=k求右图运算放大器的传递函数例2)()()(sEsEsGiokRR12eieoR1R2i1i2i3-+aeaKoi1=i221ReeReeoaai21ReReoik—运算放大器的闭环增益ooaKee6410~1010~伏多数伏注意：增益k前面的符号一律先取正号，带全部求解结束后，再确定k的符号；称脚端a为虚地点②微分环节例3求图示微分电路的G(s)解凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称为D调节器。运动方程为dttdxTtxio)()(因此传递函数为：UiUoiiouuidtc1Ruio{ioouudtuRc1)()()(1sUsUsURcsioo1TsTsTs1)(RcsRcssGG(s)=TS假若对微分环节输入一阶跃函数，则按理论计算得出一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲，只在实际上是不可能的。另外，只有当输入量为变量时，微分环节才有输出，当系统进入稳态时，则微分环节输出为零，这在实际中是不允许的。理想的微分环节是不存在的，微分环节不能单独存在。③积分环节凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为I调节器。运动方程为因此传递函数为：dttxTtxio)()(n(t)xo(t)D例4右图为一齿轮齿条传动机构。n(t)为输入转速，xo(t)为线位移。求该传动机构的传递函数。解：根据传动关系有dtdxoDn)()(sDNssXosDsG)(但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则Dntvo)()()(sDNsVoDsG)(G(s)=T/S例5下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。解：uiuoRuci-+CUi(s)Uo(s)RI-+Zcidtcuc1cssIsUc)()(csZc1Rcs1RZsGc)(sKRcK1对各变量取拉氏变换④惯性环节凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。运动方程为iooKxxdtdxT因此传递函数为：1)(TsKsGK—惯性环节的增益；T—惯性环节的时间常数例6求右图电路的G(s)。uiuoiRC解：iccouzRzu)()(sUZRZsUicco11)(RcsZRZsGcc如果Rcs»1，则G(s)=1/Rcs=1/TscsZc1UiUoI例7下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。解：uiuoR1R2-+CZ=R2∥Zc=R2∥1/cs=R2/(R2cs+1))(sG1RZ11212csRRR12RRKcRT2Ui(s)Uo(s)R1IZ-+⑤二阶环节和振荡环节凡能用二阶线性微分方程来描述的环节都称为二阶环节。运动方程为iooooKxxdtdxTdtxdT22两边取拉氏变换得)()()()(2sKXsXssXTsXTsioooo)(sG2222nnnssK12sTTsKoTn1TTo12——环节的固有频率——环节的阻尼比其中，如果0≤ξ1，二阶环节称为振荡环节例7图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统.Xi(t)Xo(t)mck求G(s)依动力平衡原理有ioookxkxdtdxcdtxdm22)()()()(2skXskXscsXsXmsiooonmkmkc2kcsmsksG2)({22222mksmkmkcsmkf(t)Xo(t))(22tfkxdtdxcdtxdmooo)()()()(2sFskXscsXsXmsoookcsmssG21)(222221mksmkmkcsmkknmkmkc2{上例中，如果输入量为外力f(t),则系统的固有频率和阻尼系数为多少⑥延时环节凡输出量滞后于输入量一个时间τ，但不失真地反映输入量的环节。运动方程为xo(t)=xi(t-τ)sesG)(sioesXsX)()(t01xi(t)=1(t)t01t01注意延时环节和惯性环节的区别例：见P45图2-18求右图油缸-阻尼-弹簧系统的传递函数.其中，p为输入，xo为输出。pAkxdtdxcoo解KcsAsPsXsGo)()()(pcKxoA)()()(sAPskXscsXooxo(t)xi(t)qRp1p2AK求图示液压阻尼器的传递函数,并判断属于什么环节)()(12tKxppAoRppq12dtdxdtdxAqoi解ooiKxdtdxdtdxRA2)()(2ssXRAKssXioRAKsssG2)(TKRA21)(TsTssG令LiRCuiuo求下图的传递函数ZLI(s)ZUi(S)Uo(S)ZL=LsZ=R//1/csZZZsUsUsGLio)()()(RLsLRCsR22222nnnss①比例环节xo(t)=kxi(t))()()(sXsXsGiok②微分环节dttdxTtxio)()(G(s)=TS③积分环节G(s)=T/SdttxTtxio)()(④惯性环节iooKxxdtdxT1)(TsKsG⑤二阶环节和振荡环节iooooKxxdtdxTdtxdT22)(sG2222nnnssKxo(t)=xi(t-τ)sesG)(⑥延时环节小节作业:iuiuoR1R2iuiuoCRL求下图个系统的传递函数C1C2R1R2uiuoC1C2K2K1xixo证明下面两个系统是相似系统