普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T有关而与黑体的形状和材料无关。实验得到：1.Wien公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：dTCCd)/exp(231Wien公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。2.Rayleigh-Jeans公式dkTCdJeansRayleigh238公式Rayleigh-Jeans公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且0vvdEE，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4TE，该式叫做Stefan-Bolzmann公式，叫做Stefan-Bolzmann常数。3.Planck黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v振荡；（2）黑体只能以E=hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。得到：dkThChd1)/exp(1833该式称为Planck辐射定律h为普朗克常数，h=sj.10626.6344，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wtrKikkeCtr，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏kC2,1每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在d,内的自由度数为dg，则（0，v）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为dgG0。借助几何方法求出3338cVG，取微分得dcVdg238令E代表体积为V的空窖内热平衡辐射的总内能，dTu,代表单位体积,频率间隔在d,内的能量，于是dgdTuVE0~0)(,，的振子的平均能量代表频率为，dcgVdg23~81代表单位体积内频率间隔在d,内的振动自由度数。应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT与振子的频率无关，代入dgdTvu~,可以得到dkTcdTvu238,，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，dcgVdg23~81依旧认为他正确，但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦——波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量取连续值上。Planck假定：黑体只能以E=hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即nhn，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布，即nean)(代表频率为v对的振子处于能级vn的平均数，于是振子的平均能量为nnnnnnnnnneeee，即Zln其中0nneZ代表频率为v的振子的配分函数，可以得到hnhneeZ110。11lnkThhehehZ由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能量均分定理不成立。把上式代入dgdTvu~,得到：18,/33kThdehcdTvu这就是普朗克辐射公式。此时辐射场的内能为03345433430/330158,18/,18,nxnkThnchkaaTdxexhkTcEkThvxedhcdTuE其中得令,5，对Planck辐射定律的讨论：dkThChd1)/exp(1833（1）当v很大（短波）时，因为exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)，于是Planck定律化为Wien公式。dkThChd1)/exp(1833变为dkThChd)/exp(833dTCCdWien)/exp(231公式2）当v很小（长波）时，因为exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，则Planck定律变为Rayleigh-Jeans公式。