第3章 第8节 正弦定理和余弦定理应用举例

考纲要求考情分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.从考查内容看，应用正(余)弦定理解实际问题在高考中经常出现，借以考查正(余)弦定理及三角知识的运用．2.从考查形式上看，三种题型都可出现；若以选择题、填空题形式出现，难度较小；若以解答题形式出现，难度中等.一、有关概念1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．上方下方2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫方位角．如B点的方位角为α(如图②)．仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同，仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．二、解三角形在实际中的应用及解题步骤解三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是：1．分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角等．安全文明考试文明驾驶模拟考试安全文明考试安全文明驾驶常识考试安全文明考试安全文明驾驶2016安全文明考试安全文明驾驶最新题库科目4考试文明驾驶考试科目四考试安全文明驾驶知识考题．根据题意画出示意图．3．将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确．4．检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍，并作出答案．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案：B2.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似．答案：A3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()A.12aB．3a2C.3aD．33a解析：∵∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，∴AC＝CD＝a，在Rt△ABC中，AB＝AC·sin60°＝32a.答案：B4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离是________千米．解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－(75°＋60°)＝45°.根据正弦定理，得AC＝ABsinBsinC＝2sin60°sin45°＝6(千米)．答案：65．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得A灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，随后海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得ACsinB＝ABsin∠ACB，所以AC＝AB·sinBsin∠ACB＝20×sin60°sin45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分)．答案：63【考向探寻】利用正(余)弦定理解决实际中的距离问题．测量距离问题【典例剖析】在某港口O某人要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的B处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，若小艇用43小时将物品送到，求小艇航行的距离．画出图形→在△OBC中，OB、BC及∠B已知→用余弦定理求OC→结论解：根据题意，画出图形如图所示，小艇将物品送到时用了43小时，这时轮船航行了43×30＝40(海里)．在△OBC中，OB＝20，BC＝40，∠B＝60°，由余弦定理，得OC2＝OB2＋BC2－2·OB·BC·cos60°＝202＋402－2×20×40×12＝1200，∴OC＝203，即小艇航行的距离为203海里．求解实际中距离问题的注意事项(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3)应用题要注意作答．【活学活用】1.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6，∠ACD＝45°，根据正弦定理有AD＝CDsin45°sin60°＝23CD.同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，根据正弦定理得BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理有AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝426CD＝42(km)．所以炮兵阵地到目标的距离为42km.【考向探寻】利用正(余)弦定理解决实际中的高度问题．测量高度问题【典例剖析】(2013·天水模拟)如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.解答此题可按以下步骤进行：①在△BCD中，由正弦定理求得BC；②在Rt△ABC中，根据三角函数定义求得AB.解：在△BCD中，∠BCD＝75°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝45°，CD＝s，由正弦定理得CDsin45°＝BCsin60°，所以BC＝3s222＝62·s，在Rt△ABC中，AB＝BC·tan30°＝62·s×33＝22s，即塔高AB为22s.求解高度问题应注意的问题(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯角的概念．【活学活用】2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.【考向探寻】利用正(余)弦定理解决实际中的角度问题．测量角度问题【典例剖析】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.解：设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2·cos120°＝6，∴BC＝6，在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，∴sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26×32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．解决测量问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解，本例中求出∠ABC＝45°，进而得出BC与正北方向垂直非常关键，这对确定∠CBD的大小，进而用正弦定理确定∠BCD的大小非常关键．【活学活用】3．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理，cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE×EF＝1302＋1502－102×2962×130×150＝1665.用正(余)弦定理解决实际问题的答题规范(12分)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求解．在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.4分在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，…6分所以AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620，同理BD＝32＋620≈0.33(km).………………………10分即B、D的距离约为0.33km.…………………………12分第三步：求解．利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验．检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．点击进入WORD链接活页作业