同济大学材料力学期末复习

材料力学期终复习轴向拉压剪切扭转弯曲应力变形强度条件刚度条件][][][maxmaxllANEANlLAN][][CCCCSSCCCSSAFAFAFAF][][maxmaxmaxmaxpnpnpnpnGIMWMGIlMIM][][][][)()()(maxmax*maxmaxmaxmaxmax*fybISFWMdcxdxdxxMEIycdxxMEIxMEIybISFyIMZzsZllZZSZ超静定的求解步骤：1）根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。2）根据变形协调条件列出变形几何方程。3）根据物理关系写出补充方程。4）联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。斜截面上的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx22minmax)2(2xyyxyx主应力的大小和方位yxxytg220最大切应力大小和方位22minmax)2(xyyxxyyx22tan1应力状态和强度理论主应力表示的广义虎克定律)(13211E)(1)(121331322EE广义胡克定律的一般形式:)]([1zyxxE)]([1xzyyE)]([1yxzzEGxyxyGyzyzGzxzx强度理论的统一表达式：][rr——相当应力][11r][)(3212r][313r][maxmaxmaxmaxyyzzctWMWM强度计算1、斜弯曲tantanyzzyyzMIIIIM中性轴与z轴的夹角变形及刚度条件22maxzyffftantanyzyzyzyzIIFIIFffffmax组合变形强度计算][maxmaxmaxmaxyyzzctWMWMAF2、偏心拉(压)中性轴在z,y轴的截距zyzyzyeiaeia22;3、扭转与弯曲强度计算][42T2Mr3][22r3WTM][32T2Mr4][75.022r4WTM4、弯曲+拉（压）+扭转强度计算][42T2NMr3][32T2NMr4能量法应变能llpnlNEIdxxMGIdxxMEAdxxFU2)(2)(2)(222卡氏第二定理及应用iiFUliinlpnliNNiidxFxMEIxMdxFxMGIxMdxFxFEAxFFU)()()()()()(一端自由，一端固定:＝2.0一端铰支，一端固定:＝0.7两端固定:＝0.5两端铰支:＝1.0临界载荷欧拉公式的一般形式:22)(lEIFcr压杆稳定ilcroSPP22Ecr细长压杆bacrs——直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆临界应力总图[a]临界应力总图[b]ilcro22Ecr细长压杆ccscE57.0对于的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。cs21cscr中柔度杆临界力计算的步骤)(max得出和由计算zzzyyyilil})({计算公式应力确定临界力判断AFbaAFbacrcrcrccrcrcrps,)2(,)1(2''强度计算s2222)(ElEIFcrcrp)(zy和确定长度系数稳定计算2、折减系数法:稳定条件：1314crPA　　　　F1、安全系数法:.crstcrFnFF.crstcrn稳定条件：冲击1、自由落体冲击动荷系数——st211hKd２、水平冲击：动荷系数——stdgvK2例结构受力如图a所示。BD杆可视为刚体，AB和CD两杆的横截面面积分别为A1＝150mm2，A2＝400mm2，其材料的应力-应变曲线分别表示于图b中。求（1）当F到达何值时，BD杆开始明显倾斜（以AB杆或BC杆中的应力到达屈服极限时作为杆件产生明显变形的标志）？（2）若设计要求安全系数n＝2，试求结构能承受的许用载荷[F]。AB杆：由图b可知，AB杆是塑性材料，但由于没有明显的屈服阶段，因此以名义屈服极限作为它的屈服极限。2.0解1、求BC杆开始明显倾斜F值MPas4002.0kNAFsN6010150104006611kNFFN120602211FDB刚杆1A2C)(MPa(%)02.0100200300400500杆材料AB杆材料CD))baCD杆：由图b可知，CD杆的屈服极限MPas200kNAFsN8010400102006622kNFFN160802222由以上计算可知，当外力F＝F1＝120kN时，AB杆内的应力首先达到材料的屈服极限，这时AB杆将开始产生显著的变形（伸长），BD杆则开始明显地向左倾斜。2、计算许用载荷[F]1）AB杆的强度计算AB杆的许用应力MPann2002400][2.001FDB刚杆1A2C)(MPa(%)02.0100200300400500杆材料AB杆材料CD))baMPann2002400][2.001AB杆的许用轴力kNAFN301015010200][][66111相应的结构许用载荷[F1]=2[FN1]=2×30＝60kN2）CD杆的强度计算CD杆的许用应力MPanns1002200][02CD杆的许用轴力kNAFN401040010100][][66222相应的结构许用载荷为[F2]=2[FN2]A2=2×40＝80kN3）由以上计算可知，该结构的许用载荷[F]＝60kN.FDB刚杆1A2C)(MPa(%)02.0100200300400500杆材料AB杆材料CD))ba例1如图a所示结构中三杆的截面和材料均相同。若F＝60kN，[σ]＝140MPa，试计算各杆所需的横截面面积。（2）画节点A的位移图根据内力和变形一致的原则，绘A点位移图如图c所示。即0102330tan30sinlll解这是一次超静定问题。（1）画出A点的受力图（见图b）静力平衡方程∑Fix＝0，FN1－FN2cs30°＝0(1)∑Fiy＝0，FN3＋FN2sin30°－F＝0(2)（3）建立变形方程12332lll根据A点的位移图，变形方程为（4）建立补充方程由虎克定律EAFEAlFlNN13333EAFEAlFlNN22222EAFEAlFlNN31111联立（1）、（2）、（3）式，解得各杆的轴力分别为：FN1＝7.32kN（压）;FN2＝8.45kN（拉）;FN3＝55.8kN（拉）代入变形方程得补充方程EAFEAFEAlFNNN3221333得FN3＝4FN2＋3FN1（3）][333AFN得22663333981039810140108.55][mmmFAN（5）各杆的横截面面积计算根据题意，三杆面积相同，由杆③的强度条件即A1＝A2＝A3＝398mm2FN1＝7.32kN（压）FN2＝8.45kN（拉）FN3＝55.8kN（拉）例简单构架如图a所示。A点为铰接，可作水平移动，但不能作竖向移动。当AB杆的温度升高30℃时，试求两杆内横截面上的应力。已知两杆的面积均为A＝1000mm2材料的线膨胀系数α＝12×10－6/℃，弹性模量E＝200GPa。因为节点A有三个未知力，而平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以本题为一次超静定问题。列静力平衡方程∑Fix＝0，FN1cos30°＋FN2＝0(1)（2）画节点A的位移图（见图c）（3）建立变形方程△L1＝△L2cos30°（4）建立补充方程△L1＝△LN1＋△LT，解（1）画出A点的受力图（见图b）A03021NNFFRAFb图030ml3CBAa图21030AlA221A1l21c图即杆①的伸长△l1由两部份组成，△lN1表示由轴力FN1引起的变形，△lT表示温度升高引起的变形，因为△T升温，故△lT是正值。46.33010121010001020046.36691111NNFTlEAlFl692222101000102003NNFEAlFl代入变形方程得补充方程46.33010121010001020046.36691NF692101000102003NFA03021NNFFRAFb图030AlA221A1l21c图030ml3CBAa图21（5）应力计算MPaAFN6.43101000106.436311MPaAFN8.37101000108.376322即2.598FN2－3.46FN1＝249×103（2）FN1cos30°＋FN2＝0(1)联立（1）、（2）式，得FN1＝－43.6kN（压）FN2＝37.8kN（拉）例图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知：T1＝1.5KN•m，T2＝2KN•m，T3＝9KN•m，T4＝4.5KN•m；各轮的间距为:L1＝0.8m，L2＝1.0m，L3＝1.2m；材料的[τ]＝80MPa，[θ]=0.3°/m，G＝80×109Pa。（1）设计轴的直径D；（2）轴的直径D0＝105㎜，试计算全轴的相对扭转角φD-A。解（1）绘出扭矩图（见图b）（2）设计轴的直径由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发生在AB段和BC段，其绝对值Mn＝4.5KN•m。由强度条件][161633maxDMDMWMnnPn求得轴的直径为mMDn066.01080105.416][63633mkNmkNmkN5.45.15.4b图DCBATTTT12343L2L1La图由刚度条件][180maxPnGIM即3.0180108032105.4943D得mD102.03.01080180105.4323923由上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴之直径应由刚度条件确定，选用D＝102mm。mkNmkNmkN5.45.15.4b图DCBATTTT12343L2L1La图（3）扭转角фD-A计算根据题意，轴的直径采用DO＝105㎜，其极惯性矩为444410119032)105(32mDIABBCCDADGIlMGIlMGIlMABnBCnCDn123)()()(03893893893163.0)(1082.210119010808.0105.410119010801105.410119010802.1105.1red扭转角为mkNmkNmkN5.45.15.4b图DCBATTTT12343L2L1La图例试用q,FQ,M之间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。KNFKNFDyAy5.12,5.5解（一）求支座约束力（二）作剪力图根据梁上受力情况，将梁分成AC、CD、DB三段。AC段：无载荷作用，即q(x)=0，故此段剪力图为一条平行于梁轴的水平线。A截面有集中力FAy=5.5KN作用,其突变FsA=FAy=5.5KN,此段剪力图即为一条Fs=5.5KN水平