向量加、减法运算及其几何意义(公开课)

2020/2/16高一、一科数学专用课件数学使人聪颖数学使人严谨数学使人深刻数学使人缜密数学使人坚毅数学使人智慧向量加法、减法运算及其几何意义2020/2/16高一、一科数学专用课件知识回顾1.向量与数量有何区别?2.怎样来表示向量向量?3.什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.如aAB,长度相等,方向相同的向量相等.(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.)上海香港台北引入1：上海香港台北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法则：abbaabCAB,,,,abAABaBCbACabababABBCAC、内点，则与，记则这称为已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。首尾连首尾相接尝试练习一：ACABCDE_____ABBC_____BCCD_____ABBCCDBDAD（1）根据图示填空：_____ABBCCDDEAE例1.如图，已知向量，求作向量。,ababab则OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例题讲解：2020/2/16高一、一科数学专用课件思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法则是否还适用？如何作出两个向量的和？abab（1）（2）||||||ababab若，方向相同，则ABCBCAabab00aaa规定：||||||||||abababba若，方向相反，则（或）2020/2/16高一、一科数学专用课件当向量不共线时，和向量的长度与向量的长度和之间的大小关系如何？ab、||abab、||||ababab三角形的两边之和大于第三边||||||ababab当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：||||||abab2020/2/16高一、一科数学专用课件图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？MCEOF1F2图1MEOF图2F=F1+F2F2F1F引入2：OABCabba,OabOACBOOCaabbabOAOBOC点为点两个为邻边则为点对线与这平行四边则称为以同一起的已知向量、作,以起的角就是的和即向量加法的种求向量和的方法，形法。起点相同向量加法的平行四边形法则：OABCabba起点相同向量加法的平行四边形法则：文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。例1.如图，已知向量，求作向量。,abababO例题讲解：作法2：在平面内任取一点O，作，，OAaOBbOAOB、以为邻边作OACB，.OCOAOBab连结OC，则abbaBCA平行四边形法则尝试练习二：(3)已知向量，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出ab、ab①②abbba2020/2/16高一、一科数学专用课件思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意，有,abR,abba()().abcabc那么对任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。,abOABCabbaabbaabccbcbaACDabba()().abcabc2020/2/16高一、一科数学专用课件例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23ADBC,ADABADABABCDAC图，，，、为邻边则实际.解：（1）如所示表示船速表示水速以作表示船航行的速度2020/2/16高一、一科数学专用课件例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23(2)||2,||23RtABCABBC解：在中，2222||||||2(23)4ACABBC23tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBC2020/2/16高一、一科数学专用课件（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考：如设,,xyRxy()xy实数的相反数记作。aa如何定义向量的减法运算呢？向量的减法运算及其几何意义回顾：2020/2/16高一、一科数学专用课件一、相反向量：规定：设向量，我们把与长度相同，方向相反aa的向量叫做的相反向量。a（1）()a（3）设互为相反向量，那么,ab,,0abbaab2.2.2向量的减法运算及其几何意义记作：a的相反向量仍是。00二、向量的减法：()abab（2）()aa()aaa002020/2/16高一、一科数学专用课件BACab设,ABbACaDEb()AEab又bBCa所以BCabababab你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗？()ab不借助向量的加法法则你能直接作出吗？ab2020/2/16高一、一科数学专用课件三、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量baba（1）如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当，共线时，怎样作呢？ababABOABOaOAbOBabBA注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。ba一般地abBabbAO（三角形法则）a练习：(1)ABAD(3)BCBA(2)BABC(4)ODOA(5)OAOBDBCAACADBA2020/2/16高一、一科数学专用课件已知向量，求作向量，。ab例3,,,abcdcdabcdOBACDabdc作法：在平面内任取一点O，,OAa,OBb,OCc,ODd则BAabDCcd作注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。abcd2020/2/16高一、一科数学专用课件练习：ab已知向量，求作向量。ab,ab（1）（2）ab（3）（4）abbaabababab2020/2/16高一、一科数学专用课件ABCD解：由作向量和的平行四边形法则，得AC=a+b;由作向量差的方法，知DB=AB-AD=a-b.ab例2：平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,用a,b表示向量AC,DB。2020/2/16高一、一科数学专用课件例3:化简(AB-CD)-(AC-BD)解:(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=02020/2/16高一、一科数学专用课件,,ABaADbABADABCD解设作以和为邻边作平行四边形。则ADBC,ACabDBab||||||||ababACDBAB，ADABCD，ABCD为矩形所以四边形为平行四边形又因为四边形2222||||||6810||||10DBDBDBababba例4已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.2020/2/16高一、一科数学专用课件ABBCAC222练习1正方形ABCD边长为1，=a，=b，=c，则|a+b+c|等于（）A．0B．3C．D．C练习2化简PMPNMN结果是02020/2/16高一、一科数学专用课件练习3a，b为非零向量，且|a-b|=|a|+|b|，则（）A．a与b方向相同B．a=bC．a=－bD．a与b方向相反ab||ab练习4向量,的模分别是3，4，求的取值范围。D[1,7]2020/2/16高一、一科数学专用课件ABCD练习5:如图：平行四边形ABCD,用表示向量,aAB,bADba,.,DBACba变式五:若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是____.变式四:在本例中,|a|,|b|,|a+b|,|a-b|有什么关系?变式三:在本例中,a+b与a-b有可能相等吗?变式二:在本例中,当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?变式一:在本例中,当a,b满足什么条件时,a+b与a-b相互垂直?2020/2/16高一、一科数学专用课件练习6用向量证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。OAOBOC、、OD练习7，O是平行四边形ABCD外一点，用表示BADCO2020/2/16高一、一科数学专用课件)+=+++=++abba(ab)ca(bc2020/2/16高一、一科数学专用课件向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（起点相同，由减向量的终点指向被减向量的终点）。