数学百大经典例题――两平面垂直的判定和性质

典型例题一例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．（１）如图1，已知lAl,．在内作lPA于A，在内作lQA于A．（２）如图２，已知lAAl,,．作AP于P，在内作lAQ于Q，连结PQ．（３）已知AAl,,．作AP于P，AQ于Q，l平面HPAQ，连结PH、QH．作图与证明在此省略．说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．典型例题二例2.如图，在立体图形ABCD中，若ECDADCBAB,,是AC的中点，则下列命题中正确的是（）.（A）平面ABC⊥平面ABD（B）平面ABD⊥平面BDC（C）平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE（D）平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.解：因为,CBAB且E是AC的中点，所以,ACBE同理有ACDE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.所以选C.说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.典型例题三例３．如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．求证ACBC．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC内作PCAD，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，AD平面PAC，且PCAD，所以PBCAD平面．又因为BC平面PBC，于是有BCAD①．另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA．由①②及APAAD，可知BC平面PAC．因为AC平面PAC，所以ACBC．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．典型例题四例４．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC．分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上的点，所以有ACBC①．因为PA平面ABC，BC平面ABC，则BCPA②．由①②及APAAC，得BC平面PAC．因为BC平面PBC，有平面PAC平面PBC．说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线面垂直面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．典型例题五例５．如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面所成的角，30BAH．再作MNBQ，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，MNHQ，BQH为二面角MN的平面角．设aBQ，在BAQRt中，aABBAMBQA2,45,90,在Rt△BHQ中，,22,,90aBHaBQBHQ2222sinaaBQBHBQH,BQH是锐角，45BQH,即二面角MN等于45．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．典型例题六例６．如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角CADC．（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；（２）若二面角CADC是直二面角，求CC的长；（３）求CA与平面CDC所成的角；（４）若二面角CADC的平面角为120，求二面角DCCA的平面角的正切值．分析：根据问题及图形依次解决．解：（１）,,,CDADDCADBCAD二面角CADC的面为ADC和面CAD，棱为AD，二面角的平面角为CCD．（２）若90CCD，aCCaCDDCaAC22,21,．（３）ADDCADCDAD,,平面CCD，DCA为CA与平面CDC所成的角．在直角三角形CAD中，30,21CDAACCDDC，于是60DCA．（４）取CC的中点E，连结AE、DE，CCDECCAEACCADCCD,,,，AED为二面角DCCA的平面角．,41,21,120aDEaCDDCDCC在直角三角形AED中，,23aADDEADAEDtan324123aa．说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．典型例题七例7正方体1111DCBAABCD的棱长为1，P是AD的中点．求二面角PBDA1的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面1AD，1BD在平面1AD上的射影就是1AD．再过P作1AD的垂线PF，则PF面1ABD，过F作BD1的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．解：过P作1BD及1AD的垂线，垂足分别是E、F，连结EF．∵AB面1AD，PF面1AD，∴PFAB，又1ADPF，∴PF面1ABD．又∵1BDPE，∴1BDEF，∴PEF为所求二面角的平面角．∵DADRt1∽PFA，∴11ADAPDDPF．而21AP，11DD，21AD，∴42PF．在1PBD中，251PBPD．∵1BDPE，∴2321BDBE．在PEBRt中，2222BEPBPE，在PEFRt中，21sinPEPFPEF，∴30PEF．典型例题八例8在ABC所在平面外有一点S，已知ABSC，SC与底面ABC所成角为，二面角CABS的大小为，且90．求二面角ASBC的大小．分析：由题设易证SDSC，由已知得SC平面SAB，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角ASBC的平面角，那么可能会走弯路．解：如图所示，作SO平面ABC于O，连结CO并延长交AB于D，连结SD．∵SO平面ABC，∴SCO是SC与平面ABC所成角，SCO．∵SO平面ABC，ABSC，∴CDAB，SDAB．∴SDO是二面角CABS的平面角，SDO．∵90，∴SDSC．又∵ABSC，∴SC平面SAB，∴平面SBC平面SAB，∴二面角ASBC的大小为90．说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB不满足第(3)条，不是二面角ASBC的平面角．在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为90，反之亦然．典型例题九例9如果，，a，那么a．分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证a，只要证明直线a与平面内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明a的目的；(2)要证a，只要证明a平行于平面的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．证法一：如图所示，设b，c，过平面内一点P作bPA于A，作cPB于B．∵，∴PA．又a，∴aPA，同理可证aPB．∵PPBPA且PBPA、，∴a．证法二：如图所示，设b，在平面内作直线bl1．∵，∴1l．设c，在平面内作直线cl2．同理可证al2，因此21//ll．由于1l，2l，∴//2l．而2l，a，∴al//2．故由al//2知，a．证法三：如图所示过直线a上一点P作直线'a．∵a，aP，∴P，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），∴'a．同理可证'a，故'a．椐公理2可知，直线'a与直线a重合．∴a说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．典型例题十例10设由一点S发出三条射线SA、SB、SC，ASB，BSC，ASC，、、均为锐角，且coscoscos．求证：平面ASB平面BSC．分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．证明：如图，任取点A，作SBAB于B，过B作SCBC于C，连结AC．∵cosASSB，cosSBSC，故coscosASSC．又由coscoscos，则cosASSC，从而可得90ACS，即SCAC，已作SCBC，故SC平面ACB，即有SCAB，已作SBAB，从而AB平面BSC，故平面ASB平面BSC．说明：本题易犯错误是：作SBAB于B，作SCBC于C，连结AC，由三垂线定理得ACSC，∴SC平面ACB，∴SCAB，∴AB平面SBC．其错误原因是作SBAB后，将AB误认为是平面SBC的垂线．此题的证明也可以作SBAB于B，SCAC于C，连结BC．在SBC中，由余弦定理及条件coscoscos，证明222SCBCSB，从而BCSC，∴SC面ABC，∴SCAB．由此进一步证明，平面ASB平面BSC．典型例题十一例11如果二面角l的平面角是锐角，点P到、和棱l的距离分别为22、4、24，求二面角的大小．分析：如果二面角l内部，也可能在外部，应区别处理．解：如图甲是点P在二面角l的内部时，乙是点P在二面角l的外部时．∵PA，∴lPA．∵lAC，∴面lPAC．同理，面lPBC，而面PAC面PBCPC∴面PAC与面PBC应重合，即A、C、B、P在同一平面内，ACB是二面角的平面角．在APCRt中，212422sinPBPAACP，∴30ACP．在BPCRt中，22244sinPCPBBCP，∴45BCP，故754530ACB（图甲）或153045ACB（图乙）．说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二