第七章 应力状态和强度理论1(03)

材料力学目录第一章绪论及基本概念第二章轴向拉伸和压缩第三章剪切第四章扭转第五章弯曲应力第六章梁弯曲时的变形第七章应力状态和强度理论第八章组合变形第九章压杆稳定第十章动荷载·交变应力第十一章能量法及其应用附录I截面的几何性质§7-2平面应力状态分析§7-3空间应力状态分析§7-4应力与应变间的关系§7-5空间应力状态下的应变能密度§7-6强度理论及其相当应力§7-1应力状态概述第七章应力状态和强度理论§7-7各种强度理论的应用简单变形的强度条件是怎么建立的？§7-1应力状态概述是用模拟的方法建立的只有比较简单的受力情况才能做模拟实验。比如：单向应力状态（轴向拉伸或压缩）：纯剪应力状态（扭转）：′′弯曲：hdzymaxminminCABFC截面危险：zσtmaxσcmax上、下边缘虽有σmax，但=0，属单向应力状态中性轴上虽有max，但σ=0，属纯剪应力状态maxmax强度校核：不能说明梁就是安全的，为什么？上面校核的点不一定是最危险的点。为什么？弯曲：hdzymaxminminCABFC截面危险：zσtmaxσcmax此点的σ比σmax减小的不多，但又增加了一个不小的，也许这一点才是最危险的点。看腹板和翼缘交界处的点：取出这点：要建立其强度条件：FSσσ横截面（很难做模拟实验）对比较复杂的受力情况很难用模拟的方法来建立其强度条件。这样，我们就不做模拟实验，而是要找出材料破坏的正真原因。在分析材料破坏的正真原因之前，必须知道构件上任意一点的任意方向的受力情况。为什么？低碳钢拉伸试验同是拉伸，为什么铸铁的失效发生在横截面上，而低碳钢的失效是沿45°的滑移线？铸铁拉伸试验低碳钢扭转试验铸铁扭转试验同样是扭转，为什么低碳钢的失效发生在横截面上，而铸铁的失效发生在45°的螺旋面上？结论:（1）对于一构件而言，不同截面上的应力分布一般不同;（2）同一截面上各点应力的大小和方向一般不同;（3）同一点处沿不同方向应力的大小和方向一般也不同。受力构件内一点处各个不同方位截面上的应力的集合，称为该点处的应力状态。应力状态：研究受力构件上任意一点处各个不同方位截面上的应力，方法：从受力构件内任意一点处取一个微正六面体—单元体AdzdydxA研究A点的应力情况：AdzdydxA●单元体的特点②相互平行的面实际上是一个面。①尺寸无穷小，各个面上的应力视为均匀分布；（这两个面上的应力是相等的，包括大小和符号。）●正应力σ有一个脚标以区分该应力作用面的法线方向；●切应力τ通常有两个脚标：第一个表示切应力作用面的法线方向，第二个表示切应力本身的方向。脚标约定:xzyzxxzyzzyxyyxxzy小结:①从受力构件内一点处取出的单元体，若其侧面上的应力均已知，则这样的单元体称为原始单元体。②从原始单元体出发，可利用截面法研究该点其它截面上的应力。③从受力构件内某一点处取出的单元体，一般来说，其侧面上既有正应力，又有切应力，但是可以证明，在该点以不同方位截取的诸单元体中，必有一个特殊的单元体，此特殊单元体上只有正应力而无切应力，这样的单元体称为该点处的主单元体。AdzdydxA一点以不同方位可以截取无数个单元体。■主应力:主单元体上的正应力称为主应力。■主平面:主单元体的各侧面称为主平面。■主方向:主平面的法线方向称为主方向。一般情况下，主单元体上的侧面上有三对主应力，分别用σ1、σ2和σ3表示,并根据代数值的大小排列。它们之间的关系是：σ1≥σ2≥σ3■主单元体：只有正应力而无切应力作用的单元体。■单向应力状态:如果三对主应力中只有一对不等于零，这样的应力状态称为单向应力状态。σσσσσσ比如：轴向拉伸或压缩σ1=σσ2=0σ3=0σ1=0σ2=0σ3=-σσσ■平面应力状态（或二向应力状态）:如果三对主应力中有两对不等于零，这样的应力状态称为平面应力状态（或二向应力状态）。σσ2σ2σσσσσσ1=2σσ2=σσ3=0σ1=σσ2=0σ3=-σ2σ2σσσσ1=0σ2=-σσ3=-2σ■空间应力状态（或三向应力状态）:如果三对主应力都不等于零，这样的应力状态称为空间应力状态（或三向应力状态）。σ1=3σσ2=2σσ3=σσ1=2σσ2=-σσ3=-3σ■平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态。2σσ3σ2σσ3σ④组合变形如何取单元体——用叠加法。mFFmAσσFFmmmAFNtWTσσσσ横截面横截面§7-2平面应力状态分析已知一原始单元体如图。1.求任意斜截面上的应力？2.求该点的主应力、主平面的位置（即主方向）？xyxyxyxy一、求任意斜截面上的应力斜截面定位：用水平方向与斜截面法线的夹角来定位。正负规定：由水平方向转到斜截面的法线，逆时针转为正，顺时针转为负。利用截面法来求斜截面上的应力。xyxy（三个面上的应力乘以各自的面积所得内力应满足平衡方程）dAcosdAsindA0)()()()(sinsindAcossindAcoscosdAsincosdAdAyyxx0)()()()(cossindAsinsindAsincosdAcoscosdAdAyyxxxyxyNTxyxydAcosdAsindAxyxyxyxyNT2222sincosxyxyx222cossinxyx的正负，及、、注意：xyx。基准面上的x二、应力圆2222sincosxyxyx222cossinxyx2222sincosxyxyx222cossinxyx222222sincosxyxyx22222cossinxyx222222sincosxyxyx22222cossinxyx222222xyxyx2222222xyxyx相似，是一个圆的方程与222RybxxybR2222222xyxyx2yx222xyx应力圆(莫尔圆）所有斜截面上的应力组成了应力圆。σoC斜截面上的应力σ和应落在应力圆上，不同的斜截面，所落点的位置不同。xyxyσo●作应力圆的步骤：①选取坐标系及比例尺，②把(σx,x)和(σy,y)放在坐标系中得两点D1、D2，连接这两点，连线与σ轴有一交点，以交点为圆心，连线的一半为半径作圆——应力圆。D1(σx,x)D2(σy,y)2yx222xyxxyxyxσxyσyC●应力圆的应用：①求斜截面上的应力σ,?在应力圆上找到基准方向，=0→基准。由基准向同方向转2得一点，这点所对应的应力就是斜截面上的σ,。2(σ,)xyxyσoD2(σy,y)CxσxyσyD1(σx,x)③夹角两倍——应力圆上两半径线之间的夹角是单元体上两对应平面夹角的两倍。②转向一致——应力圆半径的旋转方向与单元体平面法线旋转方向一致。①点面对应——应力圆上的一个点对应单元体某个面上的正应力和切应力。◆应力圆和单元体的对应关系●应力圆的应用：②求单元体的主应力σ1、σ2、σ3?主应力:=0的面上的正应力。应力圆与σ轴相交的A、B两点上=0，xyxy所以A、B两点所对应的正应力即为该点处的主应力。D1(σx,x)σoD2(σy,y)xσxyσyCAB●应力圆的应用：②求单元体的主应力σ1、σ2、σ3?xyxyD1(σx,x)σoD2(σy,y)xσxyσyCAB按代数值排队：OA1OB203测量其长度乘以相应的比例尺即可。●应力圆的应用：D1(σx,x)σoD2(σy,y)xσxyσyCAB③求单元体的主平面位置（主方向）?所以A、B两点在单元体上所对应的两个面就是主平面。A、B两点所对应的正应力为该点处的主应力。02测量出20的大小可得主方向0=。由基准转到A点得一个主平面xyxy●应力圆的应用：④画主单元体xyxy主方向0已测量出，在单元体上同方向转0即可。012D1(σx,x)σoD2(σy,y)xσxyσyCAB02●从应力圆分析主应力和主方向的计算公式：A、B两点所对应的正应力为该点处的主应力，也是该点处所有斜截面上正应力的最大值及最小值。xyxy(σ,)2222xyxD1(σx,x)σoD2(σy,y)xσxyσyC2yxBAxyxy2222xyxyxmax2222xyxyxminyxxtan220(σ,)2222xyxD1(σx,x)σoD2(σy,y)xσxyσyC2yxBA02xyxy1.求任意斜截面上的应力？2.求主应力、主平面（主方向）？●小结：■解析法①求斜截面上的应力2222sincosxyxyx222cossinxyx3.画主单元体xyxy2222xyxyxmax2222xyxyxmin1.求任意斜截面上的应力？2.求主应力、主平面（主方向）？■解析法②求主应力最大和最小值求出后按代数值排队即可得主应力。3.画主单元体xyxyyxxtan2201.求任意斜截面上的应力？2.求主应力、主平面（主方向）？■解析法③求主平面（主方向）3.画主单元体④画主单元体主方向0求出后，在单元体上转0即可得主单元体。xyxy1.求任意斜截面上的应力？2.求主应力、主平面（主方向）？■图解法3.画主单元体①按作应力圆的步骤画出应力圆2xyxyσoD1(σx,x)D2(σy,y)xσxyσyC②求斜截面上的应力σ,(σ,)在应力圆上直接量取σ=，=③求主应力ABOA1OB203xyxy2σoD1(σx,x)D2(σy,y)xσxyσyC(σ,)AB④求主方向02在应力圆上测量出20的大小可得主方向0。0=-⑤画主单元体主方向0求出，在单元体上同方向转0即可得主单元体。120例1.单元体如图所示，（1）求指定斜截面上的应力；（2）求主应力及主方向；（3）画主单元体。45MPa60MPa40MPa80，，，已知：xyx)(MPa80406045■解析法45MPa60MPa40MPa80，，，已知：xyx)MPa(80406045■解析法①求斜截面上的应力σ,222245sincosxyxyx22245cossinxyx80452604522408024080MPa