新版数学名师教案必修4课件：2-1-平面向量的实际背景及基本概念--公开课一等奖课件

第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念第二章课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业课前自主预习温故知新1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．既具有大小又具有方向的量可以看作带有方向的线段有向线段新课引入12届全国数学奥林匹克竞赛出了一道有趣的狼追兔子的计算题．如图，直线L是树林的边界，兔子和狼分别位于直线L的垂线AC上的A点和B点处(AB＝BC＝a)．它们都以固定的速度奔跑，且兔子的奔跑速度是狼的两倍．如果狼比兔子早到或者与兔子同时到达某点，兔子就会被狼逮住．设兔子沿线段AD进入树林，那么D点应该在何处，兔子才不会被狼逮住呢？自主预习1．概念(1)向量：既有_______，又有_____的量叫做向量，如力，位移等．(2)数量：只有大小，没有________的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．大小方向方向[破疑点]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有______的线段叫做有向线段．其方向是由______指向______，以A为起点、B为终点的有向线段记作(如图所示)，线段_____的长度也叫做有向线段AB→的长度，记作|AB→|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．方向起点终点AB→AB(4)有向线段的三个要素：______________________．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的_______就唯一确定．起点、方向、长度终点下列物理量中不是向量的有()(1)质量(2)速度(3)力(4)加速度(5)路程(6)密度(7)功(8)电流强度A．5B．4C．3D．2[答案]A[解析]看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．2．向量的表示法(1)几何表示：用__________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的_______(或称模)，如果向量AB→的长度记作.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a→，b→，c→，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB→.有向线段长度|AB→|在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成____________．[答案]一个圆[解析]模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．3．有关概念[总结]①共线向量所在直线平行或重合．如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．相等向量是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．单位向量的长度等于()A．0B．1C．2D．不确定[答案]B如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，(1)图中与AB→共线的向量有________；(2)图中与AB→相等的向量有________；(3)图中与AB→模相等的向量有________；(4)图中与EC→相等的向量有________．[答案](1)DC→、CD→、BE→、EB→、AE→、EA→、BA→(2)DC→、BE→(3)DC→、CD→、BA→、BE→、EB→、DA→、AD→、CB→、BC→(4)BD→[解析]根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．课堂典例讲练思路方法技巧下列命题正确的是________．①向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB→＝DC→；命题方向1向量的基本概念⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．[分析]从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[答案]④⑤给出下列几种说法：①若非零向量a与b共线，则a＝b；②若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的序号是____________．[答案]①②③④[解析]①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．④错误.当b＝0时，则a与c就不一定平行了.如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：命题方向2依据图形写相等或共线向量(1)分别写出与AO→、BO→相等的向量；(2)写出与AO→共线的向量；(3)写出与AO→的模相等的向量；(4)向量AO→与CO→是否相等？[解析](1)AO→＝BF→，BO→＝AE→；(2)与AO→共线的向量为：BF→，CO→，DE→；(3)|AO→|＝|CO→|＝|DO→|＝|BO→|＝|BF→|＝|CF→|＝|AE→|＝|DE→|；(4)不相等．以边长为2的正方形的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h.(1)试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量；(2)试找出分别与AB→、BC→、AC→、BD→共线的向量．[解析](1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝1，|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝2，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝|BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝2.又已知两正方形对应边平行，所以AB→＝DC→＝a，BC→＝AD→＝c，BA→＝CD→＝e，CB→＝DA→＝g，AC→＝b，CA→＝f，BD→＝d，DB→＝h.(2)已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所以与AB→共线的向量有：a、e；与BC→共线的向量有：c、g；与AC→共线的向量有：b、f；与BD→共线的向量有：d、h.规律总结：(1)寻找相等向量要把握住向量的两要素：大小和方向，相等向量必须二者都相同才成立．同时，也可以看出，向量是可以平移的，相等向量的起点并不一定要相同．(2)对于非零向量，共线向量只需把握向量的方向要素，与向量的大小无关．故寻找非零共线向量时，只需判断两向量所在的直线是否共线或者重合即可.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量AB→、BC→、CD→；(2)求|AD→|.命题方向3向量的几何表示与向量的应用[解析](1)向量AB→、BC→、CD→，如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，又|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴AD→＝BC→.|AD→|＝|BC→|＝200km.规律总结：1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400km到达B地，再从B地按东偏南15°的方向飞行1400km到达C地，那么C地在A地什么方向？C地距A地多远？[解析]如图所示，AB→表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则|AB→|＝1400km.BC→表示飞机从B地按东偏南75°方向飞行到C地的位移，则|BC→|＝1400km.所以AC→为从A地到C地的位移．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝1400，且∠ABC＝(90°－15°)－15°＝60°，所以∠BAC＝60°，且|AC|＝1400.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°，距离A地1400km.名师辨误作答1.混淆向量的模与绝对值给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[错解]D[错因分析]对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．[思路分析]①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.[正解]A2．对零向量理解错误下列说法中错误的是()A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的[错解]B或D[错因分析]误认为零向量没有方向．另外，没有理解零向量的长度的意义．[思路分析]零向量是规定了模为0的向量，其方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量平行，但并不是没有方向．[正解]A3．对共线向量的理解错误“若向量AB→与CD→是共线向量，则四点A、B、C、D必在同一直线上”这种说法是否正确？为什么？[错解]正确．因为共线是指在同一直线上．[错因分析]错误地理解共线向量的概念．[思路分析]共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→与CD→在同一直线上，向量是可以自由平移的．[正解]不正确．因为是向量可以自由平移．课后强化作业（点此链接）成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第二章2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第二章2.1