如何求二面角的法向量

向量法求二面角的大小北京市房山区教师进修学校卢寒芳四、教学过程的设计与实施一、教学背景的分析二、教学目标的确定三、教学方法的选择五、教学效果评价与反思1教材分析一、教学背景的分析本节课教学内容选自人教高中数学B版选修2—1第三章第2.4节“二面角及其度量”的第2课时．二面角是立体几何的重要概念之一．它是学生在学习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之后，又重点研究的一种空间角．课标要求：能用向量方法解决面面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．1教材分析一、教学背景的分析利用向量方法求解立体几何问题是将逻辑推理转化为向量的代数运算.三步曲：空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果转化成相应的几何结论.用到数形结合、类比转化等数学思想和方法，有助于提高学生的思维能力．2学情分析一、教学背景的分析已学习：二面角及二面角的平面角的概念会：建立空间直角坐标系进行向量坐标运算求平面的法向量已掌握：用向量求解线线角、线面角的方法二、教学目标的确定1通过类比异面直线所成的角、直线与平面所成角的解决方法，得到用向量求二面角大小的方法，并能用之解决有关问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．3通过经历向量法求二面角大小的推导过程，培养大胆探索精神，提高学习立体几何的兴趣．2在探究用向量法求二面角大小的过程中，体会数形结合、类比转化的数学思想，进一步提高空间想象能力、分析问题和解决问题的能力．重点和难点重点:用法向量夹角求二面角的方法的探究及应用难点:二面角与两个半平面的法向量夹角的关系教学的重点和难点二、教学目标的确定多媒体辅助三、教学方法的选择教师启发引导学生自主探究1教学方法2教学手段四、教学过程的设计与实施2探究方法1温故知新3实践操作4归纳总结1温故知新四、教学过程的设计与实施lABO如何度量二面角α—l—β的大小1温故知新1温故知新四、教学过程的设计与实施异面直线所成的角|1v2v21,vv2v1v21,vv四、教学过程的设计与实施1温故知新直线与平面所成的角nBana,22,naanan直线的方向向量为，平面的法向量为通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线面角的解决方法，自然引出用向量探究二面角的大小.四、教学过程的设计与实施1温故知新设计意图四、教学过程的设计与实施2探究方法1温故知新3实践操作4归纳总结2探究方法四、教学过程的设计与实施2探究方法lAOBOBOA,二面角OBOAAOB,问题1：二面角的平面角能否转化成向量的夹角？AOB四、教学过程的设计与实施2探究方法12,nn二面角从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由向量的夹角来确定，从而调动学生探究这一问题的积极性.四、教学过程的设计与实施2探究方法设计意图四、教学过程的设计与实施2探究方法问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？anl1n2n2探究方法四、教学过程的设计与实施思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系四、教学过程的设计与实施2探究方法四、教学过程的设计与实施21,nn121212coscos,nnnnnn2探究方法四、教学过程的设计与实施21,nn121212coscos,nnnnnn根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神；通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生理解法向量夹角与二面角大小的关系．四、教学过程的设计与实施2探究方法设计意图2探究方法四、教学过程的设计与实施问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？再次演示课件2探究方法四、教学过程的设计与实施当法向量1n，2n一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小21,nn；当法向量1n，2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小21,nn．进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系，结合规律加深学生对这一难点内容的理解．四、教学过程的设计与实施2探究方法设计意图2探究方法1温故知新3实践操作4归纳总结3实践操作四、教学过程的设计与实施四、教学过程的设计与实施3实践操作已知ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，，求平面SAB与SCD所成二面角的余弦值．21AD本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性．四、教学过程的设计与实施3实践操作设计意图四、教学过程的设计与实施3实践操作已知ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，，求平面SAB与SCD所成二面角的余弦值．21AD3实践操作四、教学过程的设计与实施解：由SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD两两互相垂直．以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，则(0,0,1)S，1(,0,0)2S，(1,1,0)C，1(,0,1)2SD，(1,1,1)SC，设平面SCD的法向量为),,(zyxn，则0SDn，0SCn，转化为坐标运算，得.0,021zyxzx取z=1，则)1,1,2(n，3662110)1(0221,cosADnADnADn．3实践操作四、教学过程的设计与实施通过对无棱二面角问题的解决，使学生经历从建立坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方法．四、教学过程的设计与实施3实践操作设计意图3实践操作四、教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果．明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结的能力和意识．四、教学过程的设计与实施3实践操作设计意图3实践操作四、教学过程的设计与实施正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．巩固练习：2探究方法1温故知新3实践操作4归纳总结4归纳总结四、教学过程的设计与实施4归纳总结数形结合类比转化两个思想四、教学过程的设计与实施一个步骤两种方法半平面内分别垂直于棱的向量的夹角两个平面的法向量的夹角求解用法向量求二面角大小的步骤引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，有利于学生对已有的知识结构加深理解。四、教学过程的设计与实施4归纳总结设计意图4归纳总结课后作业：1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，试用多种方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．2、P111练习A第3题，练习B第2题四、教学过程的设计与实施四、教学过程的设计与实施板书设计用向量法求二面角的大小1、21,nn,2121cosnnnn2、21,nn21,nn2121cosnnnn2121cosnnnn3、例题解：SA、AB、AD两两垂直，以A为坐标原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，S(0,0,1)，D)0,0,21(，C(1,1,0，)1,1,1(SC，)1,0,21(SD，)0,0,21(AD为平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量为),,(zyxn，由0SCn，0SDn，得.0,021zyxzx取z=1，得)1,1,2(n，36,cosADnADnADnADn,与二面角大小相等平面SAB与平面SCD的所成二面角的余弦值36五、教学效果的评价与反思学习效果评价设计项目A（优秀）B（良好）C（合格）个人评价同学评价教师评价旧知识掌握情况牢固比较牢固一般课前预习情况自己主动完成依照同学才完成不能完成独立思考积极程度积极较积极一般交流讨论情况有交流讨论有交流没有交流参与学习的积极性很高比较高一般本节课的掌握情况好较好不好课后作业完成情况独立完成与同学合作完成不能完成五、教学效果的评价与反思1、以课标为中心，加强知识形成过程的教学。2、几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合。3、在教师的引导下，学生的主体性得到了充分体现。4、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。教学反思教学反思五、教学效果分析