早期量子论和量子力学基础作业习题及解答

Ch.13早期量子论和量子力学基础作业习题及解答113-12.如果一个光子的能量等于一个电子的静止能量，问该光子的频率、波长和动量各是多少?在电磁波谱中属于何种射线?解：设电子的静止质量为me0，相应的静止能量为Ee0，一个光子的能量为E。则200,eeEmcEh。由题意有：0eEE，即有：20ehmc所以该光子的频率为：23182200349.1110(310)Hz=1.2410Hz6.6310emch光子波长为：1232.4310m=2.4310nmc光子动量为：2202.7310kgm/seEhpmcc在电磁波中属于γ射线13-23.设电子与光子的波长均为λ，试求两者的动量之比以及动能之比。解：设电子与光子的动量分别为pe和po，动能分别为Ee和Eo。根据德布罗意关系：λ=h/p，且λe=λo=λ，则电子与光子的动量之比为：oo1eepp光子动能可表示为：83416o93106.6310J3.97810J2.486KeV0.5010hEhccp电子的静能为：231821409.1110(310)J8.2010J0.512MeVmc电子动能：2022022)(cmcmcpEe，由以上计算知：20cmcppce所以电子动能：2222222220000242400011(1)22epcpcpEmcmcmcmcmcmcm则电子与光子的动能之比为：230oo00/22.431022eeeEpmphEcpcmcm13-24.若一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。解：设电子的运动质量为m，静止质量为m0，运动速度为v。在相对论下，电子的运动质量为：220/1/cvmm当电子的动能等于它的静能时，即20202cmcmmcEk，则有：02mm因而，有：2200/1/2cvmm，可得该电子的速率为：s/m106.2866.02/38ccv根据德布罗意关系，该电子的德布罗意波长为：nm104.1330cmhmvhphCh.13早期量子论和量子力学基础作业习题及解答213-25.设一电子被电势差U加速后打在靶上，若电子的动能全部转为一个光子的能量，求当这光子相应的光波波长为500nm(可见光)、0.1nm(X射线)和0.0001nm(γ射线)时，加速电子的电势差各是多少？解：加速电子的动能为：eUEke，光子的能量为：/ohchE电子的动能全部转为一个光子的能量，即有：/hceU所以加速电子的电势差为：6198341024.1106.11031063.6ehcU光子的波长为λ1=500nm（可见光）时：)V(48.2105001024.19611ehcU光子的波长为λ2=0.1nm（X射线）时：)V(1024.1101.01024.149622ehcU光子的波长为λ3=0.0001nm（γ射线）时：)V(1024.1100001.01024.179633ehcU13-35.一维无限深势阱中粒子的定态波函数为2sinnnxaa。试求：(1)粒子处于基态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率；(2)粒子处于n＝2的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率。解：粒子在一维无限深势阱中出现的概率密度为：),3,2,1(sin222naxnan(1)粒子处于基态n＝l时，粒子出现的概率密度为：axa221sin2在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率为：195.0433132sin2131)2cos1(1sin23/03/023/0211aaandxaxadxaxadxP(2)粒子处于n＝2的状态时，粒子出现的概率密度为：axa2sin2222在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率为：402.0833134sin4131)4cos1(12sin23/03/023/0222aaandxaxadxaxadxP13-36.一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态：(0)()0(0)xAxexxx式中λ0。(1)求波函数(x)的归一化常数A；(2)求粒子的概率分布函数；(3)在何处发现粒子的概率最大?解：(1)在整个一维空间，粒子出现的概率为一，据此归一化条件，可求出波函数的归一化常数。Ch.13早期量子论和量子力学基础作业习题及解答3令：1)(02222dxexAdxxx，可有：14)21(2)2121()22121(32022020220220202220222AxeAdxexeAdxxeAdxxeexAdxexAxxxxxxx得归一化常数为：2/32A所以，归一化波函数为：)0(0)0(2)(23xxxexx(2)设粒子的概率分布函数为w(x)，有：)0(0)0(4)()(2232xxexxxwx(3)概率最大位置满足：0)(dxxdw，可得：0)1(8)(23xxedxxdwx解得：/1,,0321xxx将这三个位置坐标代回w(x)，即可得发现粒子的概率最大的位置为：/13x13-37.一维无限深势阱中粒子的波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度“必须等于德布罗意半波长的整数倍”。试利用这一条件导出能量量子化公式:222/(8)nEhnma解：设势阱中的粒子的德布罗意半波长为λ。根据德布罗意关系有：ph/由题意可知：势阱宽度a必须等于德布罗意半波长λ的整数倍，即：2/na则粒子的能量为：2222222228)2(22/2mahnamhnmhmpEnn补充题：已知某微观粒子在一维无限深矩形势阱中的波函数为()cos(32),xAxaaxa其中:，求:(1)归一化系数A；(2)发现该粒子概率最大的位置。解:(1)归一化条件为:*1,aadx将波函数代人归一化条件得：222221cos(32)(2)1cos(62)(2)1(3)sin(3)(2)(2)aaaaaaAxadxAxadxAaxaAa则得到归一化系数为:1Aa(2)概率密度22cos(32),xaa基于粒子概率密度最大的必要条件，令:20ddx,得到:20(1)2cos(32)sin(32)(32)(32)sin(3)sin(3)0axaxaaaxaxa所以:3,(3),0,1,2,3,;kkxakxakkaxa故该粒子概率最大的位置分别为:0220,3axx(当k取其他值时,波函数为零,或xk超出阱宽)