第六章 势流理论

第六章势流理论势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。１.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的力和力矩；求解势流问题的思路如下：２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？３.利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，要求出ｐ，必须先求出速度V４.对于势流，存在速度φ，满足：222,,xyzxyzvvvxyzVvvv（６-１）(６-２)５.φ满足拉普拉斯方程：2222220xyz（６-３）若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉斯方程可以解出φ。解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于固体的力和力矩。求解思路可简述为：求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍一个简单的方法：“迭加法”迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。本章主要研究内容：1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流）2.几种最简单的势流（几个调和函数）3.绕园柱体的无环流流动4.绕园柱体的有环流流动5.附加惯性力与附加质量6.作用于流体上的力和力矩明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。２）若园柱体本身转动，则它要受到升力的作用，即著名的麦格鲁斯效应。本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。§６-1几种简单的平面势流平面流动（或称二元流动）应满足的条件：•平面上任何一点的速度和加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；•与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全相同。图6－1船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。图6－20xyddxdyVdxVdyVdxxy一、均匀流设所有流体质点均具有与ｘ轴平行的均匀速度Vo，Vｘ＝Vo，Vy＝０现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为：积分常数不起作用，可省去。积分得势函数：（６-4）0VxyxoddxdyVdxVdyVdyxy流函数的全微分：积分得流函数：ψ＝Voｙ（６-5）由（６-4）和（６-5）有：ｘ＝const，等势线ｙ=const，流函数等值线（流线）两组等值线相互正交图6－3例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流。图6－4二、源或汇流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，设源点坐标原点流出体积流量为ＱVr=f(r)，V=0不可压缩流体的连续性方程：2πrVr＝Ｑ∴Vr＝Ｑ/2πr（６-6）xyVVxyyx在直角坐标系下：在极坐标下：11rsVVrsrsrr（6－7）图6－5采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分：()2()2QddrdVdrrVddrrsrrQddrdVdrrVddsrr流线为θ＝const，为原点引出的一组射线等势线为ｒ＝const，流线为同心圆,相互正交。图6－6ln22QQr（６-8）对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，可以用源（汇）的速度势来描述。图6-7当Ｑ＞０，则Vｒ＞０为点源，反之为点汇。三、偶极子无界流场中等流量的源和汇无限靠近，当间距δx→０时，流量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一个有限数值，即：Ｑδx→Ｍ（δx→０）(6-9)用迭加法求φ和ψ这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。图6－8(a)r１≈r2＋δxcosθ１当δx→０时，Ｑδx→Ｍ，θ1→θ，r2→r1212(lnln)2Qrr场点Ａ离源和汇的距离1212212coslnln22ln()os2c1rrxrrQrQQx是个小量，利用泰劳展开得:12cos2Qxr23ln(1)23zzzz利用泰劳展开:展开后并略去δx二阶以上小量，可得：12cos2xQr12cosxzr令极坐标下：cos2Mr（６-１0）222Mxxy（６-11）直角坐标下：对于流函数：1212()()22QQ这里：r2＝xSinθ112sinxr所以12sin2Qxr代入上式得:当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θsin2Mr（６-12）流函数为：222Myxy直角坐标系下：令ψ＝C即得流线族：222Mycxy122ycxy或即2210yxyc2221111()24xycc配方后得:（６－14）流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，轴线：源和汇所在的直线等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。这些圆与ψ＝const正交注意：偶极子的轴线和方向方向：由汇指向源的方向图6-8（b）偶极子的方向为ｘ轴负向四、点涡（环流）点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小与半径成反比：02srvvr（６－15）图6-9涡索旋涡强度的两倍所求速度的点到点涡的距离采用极坐标来求φ和ψ2rsdvdrvrdd积分得速度势函数:2（６－16）流函数2srdvdrvrddrr积分得流函数：ln2r（６－17）图6-9流线：ψ＝const同心圆Γ＞０对应于反时针的转动Γ＜０对应于顺时针的涡旋§6－3绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶极子迭加形成的流动。均匀流动+偶极子=绕圆柱体的无环流流动1.无穷远条件:圆柱绕流的边界条件：圆柱表面不可穿透，即r=ｒ0处，有Vｎ=Vｒ=０，或ｒ=ｒ0的圆周是一条流线。在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处为均匀流。2.物面条件:边界条件的数学表达式（a）无穷远条件：（ｂ）物面条件：r=r０，vｎ=vr=０或r=r０处ψ=０（零流线）均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:12012022MCosVrCosrMSinVrSinr（６－18）（６－19）00xyVVVｒ∞或00cossinrVVVV令（6－19）式为零：0()02MSinrVr若Sinθ＝０，有θ＝０或π因此ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴若，即002MVrr202MrV2002MrV令,就有r=r0，圆周r=r0也是ψ＝０流线的一部分现在验证边界条件（ａ）00cossinrVVVV当ｒ→∞，从上式可得:当ｒ=ｒ０时，Vｒ＝0,满足不可穿透条件。20022002cos(1)1sin(1)rrVVrrrVVrr(6–21)2002MVr将代入φ，有：200cos()rVrr(6-20)验证边界条件（b）上述结果表明：1.无界流场中，均匀流和偶极子迭加的速度势，完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件。2.无界流场中，均匀流和偶极子迭加后的流场在ｒ≥ｒ０区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动情况完全一样。迭加后将ｒ＜ｒ０的部分去掉，用ｒ＝ｒ０的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势。圆柱表面的速度分布:由（６-21）式，当ｒ＝ｒ０时：002sinrVVV（６－22）与s坐标方向相反对Ａ，Ｃ两点：θ＝π或０，ｖ＝０驻点：速度为零的点速度达到最大值，圆柱体半径无关。在流线ψ＝０上（包括ｘ轴和圆柱表面）：1.流体从∞以流速V０流向圆柱，接近圆柱速逐渐减小，到达Ａ点时速度降至零。然后分为二支向两侧流去，同时速度逐渐增大，到达B，D点时速度增至2V０达最大值。Ｂ，Ｄ两点：（6－23）022VV2.经过Ｂ，Ｄ后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时速度又降至零。离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时再恢复为ｖ０。柱面上的压力分布:定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:220022VVpp将（６-22）式代入即得圆柱表面上压力分布:2200(14sin)2Vpp（６－24）无穷远均匀流中压力414sinpC（６-2６）圆柱体上：（６－25）压力系数:02012pppCV压力分布既对称于ｘ轴也对称于ｙ轴。在Ａ，Ｃ两点压力最大在Ｂ，Ｄ两点压力最小-处：Cｐ=０，压力渐大Ａ点达极大Cｐ＝１Ａ分两支分别流向Ｂ，Ｄ点。沿ψ＝０这条流线的压力变化为：Ｂ，Ｄ点：压力为极小值Cｐ＝－３Ｃ点：恢复到极大值，Cｐ＝１，Ｃ点+压力再次减小至p0，Cｐ＝０理想流体对圆柱体的作用力:升力L：合力在ｙ轴上的分量阻力R：合力在x轴上的分量绕圆柱的无环量流动：升力Ｌ＝０阻力Ｒ＝０压力分布对称于y轴结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。破坏了压力分布对ｙ轴的对称性负压正压１.２.物体周围的流场无界３.物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点４.物体作等速直线运动５.物体表面流动没有分离若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。由达朗贝尔谬理，可分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。§６-3绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应环量为Γ顺时针平面点涡绕圆柱体的有环量流动：绕圆柱体的无环流边界条件仍成立：1.圆柱是一条流线2.无穷远处的边界条件将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加：200200cos()2sin()ln2rVrrrVrrr（6-29）顺射针转动取负当ｒ=ｒo(圆周仍为流线)0ln.2rconst流场中速度分布为:20022002cos(1)1sin(1)2rrVVrrrVVrrr(6-30)r=ｒ0即圆柱表面上速度分布：由环流引起圆柱上表面：顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速度方向相同，故速度增加。圆柱下表面：方向相反，因而速度减少。（6－31）0012sin2VVr0rV驻点位置与Γ的大小有关：0002sin2sVr驻点处ｖｓ=０，由（6-31）有解出驻点位置：00sin4srV（6－32）两驻点在圆柱面上,并对称位于三、四象限。Γ增加，则A,B两驻点下移，并互相靠拢。1）Γ4πr0V02）Γ＝4πr0V0两个驻点重合成一点。3）Γ＞4πr0V0驻脱离圆柱面沿ｙ轴向下。令式（6-30）中Vｒ=Vθ=０，解出两个驻点：一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。实际只有一个在圆柱体外的自由驻点。结论：1.合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力2.合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力升力大小的计算：将圆柱表面上速度分布得：Vｓ＝－2V０sinθ－Γ２πr０代入柏努利方程22200(2sin)222vpCCVr（6－33）得：222002200sin2sin8VCVrr222320000sin0,sin0,sinddd200sinLprd单位长圆柱所受到的升力为：将（６-33）代入上式，并考虑到0LV于是得到升力的大小：（6－34）上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系：即升力的大小准确地和环量Γ成正比，此外还和流体密度ρ及来流速度V０成正比。称为库塔——儒可夫斯基升力定理升力的方向:右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90°该定理在绕流问题中具有普遍意义，不仅对圆柱而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。真实