21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系•学习目标•1．掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．•2．培养分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．•教学重点、难点•重点：1.韦达定理的推导和灵活运用．•2.已知方程求关于根的代数式的值•难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．一、情景导入，初步认识问题请完成下列表格，并找出规律。方程x1x2x1+x2x1.x2X²-2x-3=0X²-5x+6=0X²+2x+1=02x²-3x+1=0-132-32365-11-2-11212123二、思考探究，获取新知运用你发现的规律填空：4-7-3-5（1）已知方程x²-4x-7=0的根为x1，x2，则x1+x2=，x1.x2=（2）已知方程x²+3x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1.x2=思考1（1）如果方程x²+mx+n=0的两根为x1，x2，你能说说x1+x2和x1.x2的值吗？（2）如果方程ax²+bx+c=0的两根为x1，x2，你知道x1+x2和x1.x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由。韦达定理的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242●=242)42(2)(aacbb=244aac=ac归纳总结根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）有两实数根x1，x2，则.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。acxxabxx2121.,韦达（1540年－1603）法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq思考2在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b²-4ac≥0呢？为什么？用根与系数关系解题的前提条件是Δ≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1，x2。三、典例精析，掌握新知例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积。解：x1+x2=-（-6）=6x1x2=-15（1）x²-6x-15=0（2）3x²+7x-9=04545（3）5x-1=4x²解：x1+x2=x1x2=解：方程化为4x²-5x+1=0x1+x2=x1x2=3393741例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解法一：设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得2＋x2=k+12x2=3k解这方程组，得x2=－3k=－2答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法二：设方程的另一个根为x2.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数的关系，得2x2＝3k即2x2＝－6∴x2＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.例3已知方程x²-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值：（1）x1²+x2²；（2）。1221xxxx739)2(2122211221xxxxxxxx解：∵方程x²-5x-7=0的两根为x1，x2∴x1+x2=5，x1.x2=-7（1）x1²+x2²=（x1+x2）²-2x1.x2=5²-2×（-7）=39例4、已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根，且x1².x2²-x1-x2=115(1)求k的取值；（2）求x1²+x2²-8的值。解（1）由题意有x1+x2=6，x1.x2=k∴x1².x2²-x1-x2=（x1.x2）²-（x1+x2）=k²-6=115∴k=11或k=-11又∵方程x²-6x+k=0有实数解∴Δ=（-6）²-4k≥0,∴k≤9∴k=11不合题意舍去，故k的值为-11;（2）由（1）知，x1+x2=6，x1.x2=-11，∴x1²+x2²-8=(x1+x2)-2x1x2-8=36+22-8=50.四、运用新知，深化理解-11.若x1，x2是方程x²+x-1=0的两个实数根，则x1+x2=，x1+x2=；-12-32.已知x=1是方程x²+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m=.3.若方程x²+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a=，b=；1-64.已知a，b是方程x²-3x-1=0的两个根，求的值.baab解：由a+b=3，a.b=-1故ababbaab22ababba2211232111、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a≠0（2）根的判别式△≥0课后作业1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取。2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分。