2.2.2反证法

新课导入路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.如果当时你在场，你会怎么办？王戎是怎样知道李子是苦的呢?你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法?王戎的推理方法是:假设李子不苦,这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理的例子吗？动动脑请大家结合《路边苦李》的故事及课本上的思考题，自己总结一下这些推理的共同点.当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考.这种从“正面难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种——反证法.这些推理的共同点是：进入我们今天学习的内容.教学目标【知识与能力】1.了解反证法的自身特点，从中体会反证法的思考过程和内涵.2.运用反证法解决数学问题.【过程与方法】1.通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中体会反证法的思想.2.结合实例，让学生们归纳总结应用反证法解题的情形.【情感态度与价值观】培养学生的逆向思维，使思维发散，培养学生观察的能力、归纳总结的能力.教学重难点重点结合已经学过的数学案例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.难点运用反证法证明数学问题.知识要点一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.l3l1l2P提示根据反证法的定义做下面的题.这与“_________________________________________”矛盾.证明:假设____________,那么_________.因为已知_________,所以_________,即求证的命题正确.所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,l3与l2不相交.l3∥l2l1∥l2经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行假设不成立假设推理矛盾命题成立l3l1l2P知识要点一、提出假设假设待证命题不成立，或是命题的反面成立.二、推理论证以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论.三、得出矛盾这与“......”相矛盾.四、结论成立所以假设不成立，所求证的命题成立.练一练写出下列各结论的反面：（1）a//b；（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba∥ba0b是0或负数a不垂直于b例题1求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3∥l1，求证：l3∥l2l1l2l3提示你会首先选择哪一种证明方法（直接证明还是反证法）？如果选择反证法，先怎样假设？假设l3∥l2，即l3与l2相交下面我们用直接证明法和反证法来分别证明.问题解决的四个基本步骤：理解题意制定计划执行计划回顾画出图形，写出已知求证选择证明方法，找出证明思路写出证明过程比较两种证明方法的特点下面我们用反证法来证明此题.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3∥l1，求证：l3∥l2证明：假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P而l1∥l2,l3∥l1这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，所以假设不成立即l3∥l2l1l2l3P下面我们用直接证明法来证明此题.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3∥l1，求证：l3∥l2.证明：作直线l交直线l1于点P.∵l1∥l2，l3∥l1（已知）∴直线l必定与直线l2,l3相交l3l2l1lP123（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交）∴∠1=∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)∴l3∥l2（同位角相等，两直线平行）l1l2l1lP１23归纳请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.例题2a,bα,aαbαa//b,a//α.已知直线和平面如果，⊂，且求证：分析此题要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不清晰，于是考虑用反证法证明此题.aα=PPbab=Pa//aαbαabPbaba//b//baαaα..设∩，若∈，则∩，与矛盾在，⊂，且的条件下，若假设与有公共点；若，则与成异面直线，也与，可得与相交于一点矛盾下面我们用反证法证明此题.bpαβa//babβbαbβαβ=b.Pαβ.aαaβ,αβ.aα=bPaba//.Pb直线，确定一个平面⊂，且⊂，所以证明：因为，所以经过因为，而⊂所∩假设∈∩，即点是直线以与是两个不同与的公共的平面因为直线与平面有公共点点与，，这则矛盾例题3求证：是无理数.2分析是指m,n的最大公约数是1，即(m,n)=1.直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法.假设不是无理数，那么它就是有理数.任一有理数都可以写成的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.2*m(mnmZnN)n，互质，∈，∈222*222222mmn2=nm=2nm=2nmmm=2kkN4k=2nnnmn=2k.2..，是有理数，则存在互质的整数，使得，，是偶数，从而必是偶数，故设（假设也是偶数，这与，互质矛盾所以假设不成∈）从而有立，是有理即数成立，证明：探究结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？思考由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.知识要点反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.用反证法证题时,应注意的事项:（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）某些定理的逆命题；（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（4）关于“唯一性”结论的命题；（5）解决整除性问题；（6）一些不等量命题的证明；（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（8）涉及各种“无限”结论的命题等等.宜用反证法证明的题型课堂小结1.反证法的概念：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2.反证法的一般步骤:(1)提出假设(2)推理论证(3)得出矛盾(4)结论成立3.反证法的关键：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.4.反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.高考链接求证对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列,b1,b2,…bn,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.2008年高考江苏卷的19题的第(2)小题动动脑1231232213221322132132213ndnb1b1+db1+(n-1)d(b1d0)b1+md,b1+md,b1+md0mmmn-1b1+md=(b1+md)(b1+md)m+m-2mb1d=(m-mm)d.*b1d0m+m-2mm-mm0假设对于某个正整数，存在一个公差为的项等差数列，，，≠，其中三项成等比数列，这里≤≤，则有（），化简得（）由≠知与或同时为，或均0.不为213221321313213131232132213m+m-2m=0m-mm=0m+m()-mm=0,2m-m=0m=m,m=m=m.m+m-2mm-mm.若且则有即（）得从而矛盾因此与都不为零1由得因为均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数2213132123m-mmb*=.dm+m-2mmmmb1.d于是，对于任意的正整数≥，只要取为无理数，则相应的数列，就是满足要求的数列.例如取那么项数列，，，满足要求b1n4db1,b2,bnb1=1,d=2,n11+21+221+(n-1)2.，随堂练习用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60度.BAC假设所求证的结论不成立，即∠A＿＿60°，∠B＿＿60°，∠C＿＿60°则∠A＋∠B＋∠C＜180°这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假设＿＿＿＿＿＿，所以，所求证的结论成立．＜＜＜三角形三个内角的和等于180°不成立BAC1.设0a,b,c1，求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1/4.证明：，，则三设式相乘：假1(1-a)b411(1-b)c(1-c)a441(1-a)b(1-b)c(1-c)a64①解答题211(1-b)b(1-c)c40a41(1-a)bc1(1-a)+a10(1-a)a[]=2a(1-b)b(1-c)c644所以同理：≤≤以上三式相乘：又因≤≤为，，与①矛盾∴结论成立.2.已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0.证：设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+ca0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0同理可证：b0,c0.习题答案1.证明：假设∠B≥90°.因此∠C+∠B≥90°+90°=180°.这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立.从而，∠B一定是锐角.22222.23523=2+5.(23)=(2+5),5=2105=(210)25=40..235.证明：假设，，成等差数列，则所以化简得，从而，即，这是不可能的所以，假设不成立从而，，，不可能成等差数列