数列极限的性质

数列极限的性质定理2.1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的.证用反证法.收敛数列的性质令},max{21NNN，则Nn上面两个不等式同时成立，.,的极限是唯一的即收敛数列故nxba.,2矛盾于是nnxbbaax,,,22bxNnNNn有,,,11axNnNNn有,02.,lim,limabbabxaxnnnn取且假设证设axnnlim，则对1，NN，Nn，恒有1axn，从而aaaxaaxxNnnnn1,有，令}1,,,,max{21axxxMN，定理2.2（有界性）收敛数列必有界..,,有界即有则nnxMxNn注：①性质2的等价命题是:若nx无界，则nx发散.②收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛.例如})1{(n有界，但不收敛.axnnlim设，bynnlim，则（1）bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim；（2）bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim；（4）)(limlimlim0bbayxyxnnnnnnn.（3）)(limlim为常数ccaxccxnnnn；定理2.3（有理运算法则）证仅证明（2）.),,max(21NNN取知由lim,limbyaxnnnn,,,,011axNnNNn有,,,22byNnNNn有.,,byaxNnnn同时有则axnnlim由,必有界nx.,,0MxNnMn有即abbxbxyxnnnnaxbbyxnnn,)(bMbM)()(abbxbxyxbayxnnnnnn因为.limlim)(limbayxyxnnnnnnn所以例1．求下列极限：（1）322221limnnn；解:322221limnnn.31)12)(1(61lim3nnnnn.0,,,lim,,,00110110mkmkbabnbnbananaNmkmmmkkkn有时一般地解：])1(2121[limnnn]2)1(2)1([limnnnnn][21lim22nnnnnnnnnnn222lim21nnn11112lim21.21])1(2121[lim)2(nnn例2．求])1(1431321211[limnnn.解：由于111)1(1nnnn，所以)111()4131()3121()211(nn,111n)1(1431321211nn.1)111(lim])1(1431321211[limnnnnn定理2.4（保序性）axnnlim若，bynnlim，ba且，NN则，Nn，nnyx有.证：取2ab.},,{max21NNN令.2,nnybaxNn有则,lim,limbyaxnnnn由于,2,,11baxaxNnNNnn有故,2,,22nnybabyNnNN有推论2若axnnlim，bynnlim，且NN,Nn,nnyx有，则ba.特别地，时当0b，)()0(0Nnxxnn或有，这一性质常称为极限的保号性.推论1axnnlim若，)(baba或且，NN则，)(,bxbxNnnn或有.1.3.5数列收敛判别法与数e定理2.5（夹逼定理）{},{},{},(),limlim,lim.nnnnnnnnnnnnxyzxyznNxzaya设有三个数列若且则例3．kaaa,,,21为k个给定的正数，求nnknnnaaa21lim.解：设},,,max{21kaaaa，则1limnnk,21nnnnnknnnnkakaaaaaa,limaan由于.lim21aaaannknnn所以akannlim例4．证明：1limnnn.∵222)1(1!2)1(1)1(nnnnnnnxnnxxnnnxxn，证当1n时，1nn，故可设01nnnx，∴nxn20，nxn2111，,1)21(lim),1(211nnnnnn但即!可直接引用.1limnnn故由夹逼定理得.1nnxn则设nx为一数列，若Nn，都有1nnxx（或1nnxx），则称nx单调增加（或单调减少）；若Nn，都有1nnxx（或1nnxx），则称nx严格单调增加（或严格单调减少）.单调数列x定理2.6（单调有界准则）M1x2x3xnx1nxa几何解释：.}{)1(是单调增加数列先证nx.)11(收敛证明数列nnnx.)()(必有极限界的数列下有上减少单调增加2)1(!2)1(11)11(nnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)1(!)]1([)1()1(!3)2)(1(3)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnn)121)(111(!31)111(!2111)111(11nnnnxnn)111()121)(111(!1nnnnn)11()121)(111()!1(1nnnnn类似可计算（2）再证数列nx有上界.)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnnxnnnn)1(13212112!1!31!2111,313)111()3121()211(2nnn故nx是单调增加且有上界的数列，必收敛.比较nx与1nx的展开式，可知1nnxx，故nx.可以证明)590457182818284.2(eennn)11(lim分析:由递推公式得数列的前几项：,3455,1321,58,23,1猜想此数列单调增加且有上界.解先证nx单调增加.假设1kkxx成立，∵0211111111112xxxxxx，∵11x，且),3,2(1111nxxxnnn，∴),3,2,1(0nxn.∴12xx.例5．设),,3,2(11,1111nxxxxnnn.limnnx求)11()11(111kkkkkkxxxxxx则有由数学归纳法知，),2,1(1nxxnn，故nx.再证nx有上界.,0)1)(1(111kkkkkkxxxxxx由单调有界原理知，nx必收敛，2111111nnnxxx由.有上界nx,limAxnn设,1111nnnxxx由已知,lim1lim1lim11nnnnnnxxx得,11AAA即,0nx由于,0A从而.251limnnx故.251A解得,012AA例6．设0nx，且1lim1rxxnnn，证明：0limnnx.证∵1lim1rxxnnn，由极限的保序性知，NN，Nn，有11nnxx，∴当Nn时，nx单调减少.又∵0nx，∴nx有下界.故由单调有界原理知，nx必收敛，设Axnnlim.),(limlim11nnnnnnxxxx由于,0)1(,ArArA所以,1r又,0)1(r.0lim,0nnxA即故作业习题1.310.（1）(6)（7）(10)；13.(2)(4).设na为一数列，由na中的无穷多项不改变顺序按照脚标由小到大排列所组成的一个数列称为na的一个子数列，简称子列，记作12:,,,,kknnnnaaaa，其中12knnn，k表示kna是子列中的第k项，而kn则表示kna是原数列na中的第kn项.因此knk,且若jk,则jknn.子数列与数列极限的归并原理limnnaa的充要条件是对于na的每个子列kna，都有limknkaa.定理2.7（数列极限的归并原理）定理2.8（Weierstrass定理）有界数列必有收敛子列.定义2.2（Cauchy数列）设na为一实数列,若满足下述条件:0,NN,使得,mnN,恒有mnaa.（*）则称na为Cauchy数列或基本列，式（*）称为Cauchy条件.Cauchy条件的另一种等价形式定理2.9（Cauchy收敛原理）数列na收敛的充要条件为它是Cauchy数列.0,NN，使得nN及pN，恒有npnaa作业习题1.311.(3);12.;17.(1)(2).