高数讲稿(数列极限)2

定义1设有非空数集E,如果R，且（1）Ex，有x；（2）0，Ex0，有0x，则称是数集E的上确界，记为Esup或xExsup定义2设有非空数集E,如果R，且（1）Ex，有x；（2）0，Ex0，有0x，则称是数集E的下确界，记为Einf或xExinf定理若数集有上（下）确界，则它的上确界是唯一的。定理（确界存在定理）有上（下）界的非空集合，必有上（下）确界。定义3如果数列nx的项满足121nnxxxx则称这个数列是单调增加数列；如果数列nx的项满足121nnxxxx则称这个数列是单调减少数列。准则II(单调有界判别法)单调有界数列必有极限。即单调增加并有上界的数列必收敛；单调减少并有下界的数列必收敛。证明我们只讨论单调增加有上界的数列。因为数列nx是有界数列，则这些nx构成的数集E是一个有上界的且是非空的。由上确界存在定理,数列nx存在上确界Esup。由上确界的定义有：1）nx(n=1,2,3,….)。2）对任意给定的0，在nx中至少有一个数Nx使得Nx。由于nx是单调增加的数列，因此即：当Nn时，有nNxx，从而nx。即当Nn时，有nx0，因此nnxlim。例证明数列nnnx11收敛。证（1）先证数列是单调增加的。nnnx11212)1(1!11nnnnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnnn1!)1()2)(1(nx=1+n11!21!11nn2111!31nnnnn112111!111111nnnx=1+111!21!11n121111!31nn111121111!1nnnnn11111121111)!1(1nnnnnnn，在这两个展式中，除前两项相同外，后面的每个项都大于前者的相应项，且后者最后还多了一个数值为正数的项，因此有1nnxx（2）再证数列有上界。因n11，n21nn11,,这些因子都小于1。故!1!31!21!111nxn1221212111n=321321121111nn。即数列有上界。因此根据准则II,数列nnnx11以某个大于2，小于3的数作为极限。此极限记为e.即ennn11lim。e=2.71828128459045定义4设有闭区间列11,ba，22,ba，….，nnba,,…(1).11,ba22,ba….nnba,…(2)区间长度收敛于零，即0limnnnab，则称此区间列为区间套。定理（区间套定理）设闭区间序列nnba,是一区间套，则存在唯一的点属于所有闭区间nnba,，且nnnnbalimlim。定理（致密性定理）任一有界数列必有收敛的子数列。准则III(柯西收敛准则)数列{xn}极限存在的充要条件是：||,,,0,0mnxxNnmN有对数列{xn}极限不存在的充要条件是：00||,,,0,0mnxxNnmN有例P46~47页