插板法原理及应用

插板法理论分析：假定M个元素，分成N组。M个元素中间有（M-1）个空，如果想分为N组的话需要插入（N-1）个木板，所以方法数为：C（M-1，N-1）；注意插板法的三要件：①相同元素分配；②所分组是不相同的；③每组至少分到一个。插板法的三种基本形式：（1）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A.21B.28C.32D.48楚香凝解析：8个球中间有7个空，分到3个盒子需要插两块板，插板法C（72）=21种，选A●△●△●△●△●△●△●△●对于不满足第三个条件---即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。（2）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法？A.3B.6C.12D.21楚香凝解析：先往每个盒子里提前放一个、还剩下5个；转化为5个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C（42）=6种，选B（3）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？A.15B.28C.36D.45楚香凝解析：此时因为每个盒子可以分0个，先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去；转化为11个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C（102）=45种，选D此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同的空有C（92）=36种、插同一个空有C（91）=9种，36+9=45种；对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放0个球，有C（102）种；8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有C（72）种；8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C（42）种；这三种基本形式，要牢牢掌握。例1：某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问共有多少种不同的发放方法？【国家2010】A.12B.10C.9D.7楚香凝解析：每个部分先提前分8份材料，还剩下30-3×8=6份；相当于6份材料分给3个部门，每个部门至少分1份，插板法C（52）=10种，选B例2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有（）种分配方式。【广州2014】A.15B.18C.21D.28楚香凝解析：每人先分2份、还剩下15-3×2=9份；相当于9份公文分给三个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（82）=28种，选D例3：某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？【黑龙江2015】A.7B.8C.9D.10楚香凝解析：C（10-1，n-1）=36，代入n=8满足，选B补充：若问最少有多少个科室，因为C（92）=36，此时为3个科室。例4：把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（）种。A.10B.15C.20D.25楚香凝解析：第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球，还剩下10-1-2=7个球；相当于把7个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C（62）=15种，选B例5：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？A.15B.28C.36D.66楚香凝解析：第二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球，还剩下10-2+1=9个球；相当于把9个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C（82）=28种，选D例6：现有9块巧克力（其中5块有夹心），若将这些巧克力分给3个小朋友，平均每个人都有3块，问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力的情况有多少种？【粉笔模考】A.6B.9C.12D.25楚香凝解析：相当于把5块夹心巧克力分给3个人，每人至少1块、至多3块，插板法C（42）=6种，然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可，选A对于插板法的基础题型来说，最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式，即“每组至少一个”。★插板法技巧进阶篇①在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉。例6：某单位购买了10台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3个部门使用。已知每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有（）种。【广东2013】A.9B.12C.18D.27楚香凝解析：插板法C（92）=36种；然后去掉不满足题意的情况（即有的部门多于5台）：选一个部门C（31）、先分给这个部门5台，再把剩下的5台分给3个部门，插板法C（42），则不满足题意的情况有C（31）×C（42）=18种，满足题意的情况有36-18=18种，选C例7：有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？【黑龙江2010】A.4B.5C.6D.7楚香凝解析：解法一：分类：99+100+101的情况有A（33）=6种，100+100+100的情况有一种，共7种，选D解法二：每个单位先提前分98份，还剩下300-3×98=6份；相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分3份，插板法减去有单位分到4份的情况，C（52）-C（31）=7种，选D②有时直接正面使用插板法，因为需要减掉的情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。例3：四个小朋友分17个相同的玩具，每人至多分5个，至少分1个，那么有多少种分法？【河南招警2011】A.18B．19C．20D．21楚香凝解析：每个小朋友先分5个、共分了20个，再收回20-17=3个，每人至少交回0个，插板法C（63）=20种，选C例4：某快问快答节目第一关设置4道题，选手答错任意一题则立即停止答题。比赛规定：第一题到第四题的答题时间分别限定在10、8、6、3秒内（选手每题的答题时间都计为整秒且至少为1秒），某位选手通过第一关，答题用时24秒，则该选手在4道题上的答题用时组合有多少种：【粉笔模考】A.8B.15C.19D.20楚香凝解析：总的时间上限=10+8+6+3=27秒，相当于从27秒中去掉3秒，每题可以去0秒、第四题最多去2秒；转化为三个名额分给四道题，每道题至少分0个，再去掉三个名额都分给第四题的情况，插板法，C（63）-1=19种，选C如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进行巩固。练习1：有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位最少订99份，最多102份。问一共有多少种不同的订法？A.6B.7C.8D.10楚香凝解析：每个单位先提前分98份，还剩下300-3×98=6份；相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分4份，插板法C（52）=10种，选D练习2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：A.52B.53C.54D.55楚香凝解析：每人先分1份、还剩下12份；相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多9份，插板法C（112）=55种，去掉有人分到多于9份的情况（即10+1+1）、有C（31）=3种，则满足题意的情况有55-3=52种，选A练习3：某办公室接到18份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：A.43B.46C.51D.55楚香凝解析：每人先分2份、还剩下12份；相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（112）=55种，去掉有人分到多于8份的情况：先选一个人分给他8份，剩下的4份分给3个人，每人至少1个，有C（31）×C（32）=9种，则满足题意的情况有55-9=46种，选B练习4：某办公室接到16份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于5份，则共有多少种分配方式：A.20B.27C.31D.35楚香凝解析：每人先分5份、共分了20份，再收回4份，每人至少交出0份、至多交出3份，插板法C（73）=35种，去掉有人交出4份的情况C（41）=4种，则满足题意的情况有35-4=31种，选C练习5：袋中有红、白、黑三种颜色的球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法？A.35B.45C.75D.105楚香凝解析：相当于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C（152）=105种；去掉某种颜色多于10个球的情况，先选一种颜色C（31）、先分给它10个，剩下6个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C（52）=10，则满足题意的情况有105-3×10=75种，选C★插板法技巧之比赛得分计算（1）某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共5道题。计分方式如下：每个家庭有10分为基础分；若抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分；抢答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得（）种不同的分数。【广东2013】A.18B.21C.25D.36楚香凝解析：有没有基础分并不影响得分的情况数；相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（72）=21种，选B通过分类可以看的更加清楚，答对一道和答错一道相差5+2=7分；①抢到0道时，得分只有一种，即基础分10分；②抢到1道时，得分有两种，答错为8分、答对为15分；③抢到2道时，得分有三种，分别是6、13、20；④抢到3道时，得分有四种，分别是4、11、18、25；⑤抢到4道时，得分有五种，分别是2、9、16、23、30；⑥抢到5道时，得分有六种，分别是0、7、14、21、28、35；共1+2+3+4+5+6=21种，选B（2）某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？【深圳2008】A.45B.47C.49D.51楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（122）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是4×1+（-1）×4=0，即答对一道+答错四道=不答五道=0分。如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进行插板分配时C（72）=21，这21种情况出现的得分跟前五道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-21=45种，选A也可以结合一个具体的得分进行说明，比如8这个得分，8=4×2=4×3+（-1）×4，有两种可能：（1）答对两道、不答八道，（2）答对三道、答错四道、不答三道；两种可能性进行对比，消掉相同部分（答对两道、不答三道）后，（1）不答五道，（2）答对一道、答错四道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答五道=答对一道+答错四道，即如果先拿出五道题，对剩下五道题进行插板，这C（72）=21种情况都会出现重复、需要减掉。（3）某测验包含10道选择题，评分标准为答对得3分，答错扣1分，不答得0分，且分数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同，问最多有多少名测验对象？【浙江B2018】A.38B.39C.40D.41楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（122）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是3×1+（-1）×3=0，即答对一道+答错三道=不答四道=0分。如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的六道题进行插板分配时C（82）=28，这28种情况出