4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

一、选择题1．(文)已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)在区间[0,2π]的图像如图，那么ω＝()A．1B．2C.12D.13[答案]B[解析]由图像可知，该函数的周期T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选B.(理)(教材改编题)若f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像(部分)如下图所示，则ω和φ的取值可能是()A．ω＝1，φ＝π3B．ω＝1，φ＝－π3C．ω＝12，φ＝π6D．ω＝12，φ＝－π6[答案]C[解析]∵T4＝2π3－－π3＝π，∴T＝4π，又T＝2πω，∴ω＝12，∴y＝sin12x＋φ.又图像过点－π3，0，∴0＝sin－π6＋φ，∴－π6＋φ＝kπ.由图知k＝0，∴φ＝π6.2．将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20[答案]C[解析]3.下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间－π6，5π6上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点()A．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[答案]A[解析]本题考查了三角函数的性质及图像的平移．由题知函数f(x)的最小正周期T＝56π－－π6＝π，A＝1，∴ω＝2πT＝2ππ＝2，故将y＝sinx的图像先向左平移π3个单位长度后，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，故选A.4．函数y＝cos2x＋π6－2的图像F按向量a平移到F′，F′的解析式y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，则向量a可以等于()A.π6，－2B.π6，2C.－π6，－2D.－π6，2[答案]D[解析]本题主要考查向量的平移和三角函数的图像及性质．A中得y＝cos2x－π6＋π6－2－2＝cos2x－π6－4，∴不是奇函数，故排除A；B中得y＝cos2x－π6＋π6－2＋2＝cos2x－π6，∴不是奇函数，故排除B；C中得y＝cos2x＋π6＋π6－2－2＝cos2x＋π2－4，∴不是奇函数，故排除C；D中得y＝cos2x＋π6＋π6－2＋2＝－sin2x，∴是奇函数，所以选D.5．(2012·枣庄二模)如下图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝6sin2πt＋π6，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为()A．63B．33C．3D．6[答案]A[解析]∵s＝6sin2πt＋π6，∴T＝2πω＝1，从最左边到平衡位置O需要的时间为T4＝14秒，由6sin2π×14＋π6＝33，得从最右边到最左边的距离为63.6．(文)(2011·新课标文，11)设函数f(x)＝sin(2x＋π4)＋cos(2x＋π4)，则()A．y＝f(x)在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x＝π4对称B．y＝f(x)在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x＝π2对称C．y＝f(x)在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x＝π4对称D．y＝f(x)在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x＝π2对称[答案]D[解析]本题主要考查了两角和的正弦余弦公式、三角函数图像性等．此类题目应先化简函数解析式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m形式再求解．f(x)＝sin2x＋π4＋cos2x＋π4＝2sin2x＋π2＝2cos2x.则函数在0，π2单调递减，其图像关于x＝π2对称．(理)(2011·新课标理，11)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在(0，π2)单调递减B．f(x)在(π4，3π4)单调递减C．f(x)在(0，π2)单调递增D．f(x)在(π4，3π4)单调递增[答案]A[解析]本题主要考查三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．依题意：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ＋π4)，又T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ＋π4)又f(x)为偶函数，∴φ＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ＋π4.又|φ|π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin(2x＋π2)＝2cos2x.又y＝cosx在x∈(0，π)单调递减，则由02xπ得0xπ2.即f(x)＝2cos2x在(0，π2)单调递减，故选A.二、填空题7．如下图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为______________．[答案]y＝2sin3x2－3π4[解析]A＝2，T2＝5π6－π6＝2π3，T＝4π3，∵2πω＝43π，∴ω＝32，∴y＝2sin32x＋φ.∵当x＝56π时，y＝2，∴2＝2sin32×56π＋φ，即sinφ＋54π＝1，∴φ＋54π＝π2，φ＝－3π4，∴y＝2sin32x－3π4.8．(文)(2012·东营模拟)已知函数f(x)＝－3sin2x＋sinxcosx，则f25π6＝________.[答案]0[解析]方法一：f(x)＝－3×1－cos2x2＋12sin2x＝－32＋12sin2x＋32cos2x＝－32＋sin2x＋π3，∴f256π＝－32＋sin263π＝－32＋sin2π3＝－32＋32＝0.方法二：当x＝25π6时，f256π＝－3sin225π6＋sin25π6cos25π6＝－3sin2π6＋sinπ6cosπ6＝－34＋12×32＝0.(理)函数y＝3sinx2－π6的对称中心是________．[答案]π3＋2kπ，0，k∈Z[解析]由x2－π6＝kπ，k∈Z得x2＝π6＋kπ.∴x＝π3＋2kπ，k∈Z.∴对称中心是π3＋2kπ，0.三、解答题9．(2011·重庆理，16)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(π2－x)满足f(－π3)＝f(0)，求函数f(x)在[π4，11π24]上的最大值和最小值．[解析]f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝a2sin2x－cos2x，由f(－π3)＝f(0)得－32·a2＋12＝－1，解得a＝23.∴f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π6)，当x∈[π4，π3]时，2x－π6∈[π3，π2]，f(x)为增函数．当x∈[π3，11π24]时，2x－π6∈[π2，3π4]，f(x)为减函数．∴f(x)在[π4，11π24]上的最大值为f(π3)＝2，又f(π4)＝3，f(11π24)＝2，∴f(x)的最小值为f(11π24)＝2.一、选择题1．(2011·天津文，7)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，－πφ≤π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数[答案]A[解析]本题考查正弦型函数的图像与性质．由题意得T＝2πω＝6π，∴ω＝13.∵x＝π2时，f(x)取得最大值．∴13×π2＋φ＝π2，φ＝π3.∴f(x)＝2sin13x＋π3∴f(x)的单调增区间为[－52π＋6kπ，π2＋6kπ](k∈Z)．∴f(x)在区间[－2π，0]是增函数．2．(文)(2012·广州五校联考)若将函数y＝tanωx＋π4(ω0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图像重合，则ω的最小值为()A.16B.14C.13D.12[答案]D[解析]本题考查正切函数的图像的平移变换．将函数y＝tanωx＋π4(ω0)的图像向右平移π6个单位长度，得到的函数为y＝tanωx－π6＋π4＝tanωx－ωπ6＋π4，由题意，得－ωπ6＋π4＝π6，∴ω＝12.(理)已知函数f(x)＝sinωx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为()A．y＝f2x－12B．y＝f(2x－1)C．y＝fx2－1D．y＝fx2－12[答案]B[解析]由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到，即y＝f(x)→y＝f(x－1)→y＝f(2x－1)．二、填空题3．(2011·江苏卷，9)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图像如下图所示，则f(0)的值是________．[答案]62[解析]由图像可知，A＝2，T4＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，则y＝2sin(2x＋φ)，将(712π，－2)代入，解之得φ＝π3，从而y＝2sin(2x＋π3)，f(0)＝62.4．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|≤π2)是定义域为R的奇函数，且当x＝2时，f(x)取得最大值2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.[答案]2±22[解析]由题意知：φ＝0，A＝2，∴f(x)＝2sinωx又当x＝2时，f(x)取得最大值2，∴2ω＝π2＋2kπ，∴ω＝π4＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，令k＝2n，则f(x)＝2sinπ4＋2nπx，∵n∈Z，x∈Z，∴f(x)＝2sinπ4x.由函数周期性可得：f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋22同理，当k为奇数时可得：f(1)＋f(2)＋…f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2－22.三、解答题5．(2011·湖南理，17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；(2)求3sinA－cos(B＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．[解析](1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因为0Aπ，所以sinA0，从而sinC＝cosC，又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝π4.(2)由(1)知，B＝3π4－A，于是3sinA－cosB＋π4＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sinA＋π6.因为0A3π4，所以π6A＋π611π12，从而当A＋π6＝π2，即A＝π3时，2sinA＋π6取最大值2.综上所述，3sinA－cosB＋π4的最大值为2，此时A＝π3，B＝5π12.6．(文)已知向量m＝(sinωx＋cosωx，3cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)，其中ω0，函数f(x)＝m·n，若f(x)相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值，并求f(x)的最大值及相应x的集合；(2