应用概率统计课件

1§1大数定律11,,,.ninnXXEXXXYn：设是一列随机变量，一定的则在随机变量序列收条件下敛到内容2nY问：（1）一定的条件是什么？（）随机变量序列收敛到题的定义？2随机变量序列依概率收敛的定义1235.1,,,,0,0,nnnYYYalimPYaYaPYan。定义：设随机变量序列若存在某常数，使得均有：则称随机变量序列依概率收敛于常数，记为：aaa3性质：,,ppnnXaYbg在(a,b)连续，则(,(,)pnngXYgab）41(0,),pnnXNXn例：则0.:0,证明对任意(|0|)nPX()()nnPXPX001()()1/1/nn2[1()]n0.51,,0,1,nnnnXXXDXXn例：设是随机变量序列,E则0.p22::1(|0|)0.nnDXPXn证明利用切比雪夫不等式6222225.1,0,1XEXDXPXEXPXEX定理契比雪夫不等式：设随机变量具有数学期望方差则对于任意都有：定理的为：等价形式,XXfx证明：仅就为连续型时证之设的概率密度为xPXfxdx则22xxfxdx221xfxdx222DX()fx72,,(||3)XDXPX例：设E则2281.(3)928(,)(||3)0.9974.9XNPX当时，8•例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nA解：设在重贝努里试验中，事件出现的次数为X，,0.75bn则X,0.75,0.1875,EXnpnDXnpqn1875(2)10.90n18750n0.740.760.750.01XPPXnnn20.18751875110.01nnn1875(1)7500,0.740.7610.757500XnPn912215.2,,,,1.nnPkkXXXXn定理契比雪夫定理的特殊情形：设随机变量序列相互独立，且具有相同的数学期望和相同的方差，则111,nnkkEYEXnnn证明：由于11nnkkDYDXn211nkkDXn2221nnn22111nkknPXn由契比雪夫不等式得：111nknklimPXn1012115.3,,,,101limlim1.nnnkknnknnkXXXnYXnPYPXn定理辛钦定理：设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且存在数学期望，作前个随机变量的算术平均：则，有：契比雪夫大数定律表明，当n很大时，的算术平均接近于数学期望。这种接近是在概率意义下的接近。11nkkXn12,,,,nXXX此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。11•例2：112111,,,,~(1,1).111123nnnnkkkkkkXXXUXXXnnn设随机变量相互独立同分布，则（），（），（）分别依概率收敛吗？如果依概率收敛，分别收敛于什么？1111222112111,,,,(),,,,(),,,,()111nnnnnnkkkkkkXXEXXXEXXXEXXXXnnn解：由辛钦大数定律，相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,故，，，均依概率收敛。1()0,EX因为，11nkkXnP故，0，111(),EXxdx11同理，2212211(),EXxdx112311nkkXnP1，2211nkkXnP1。312•例：1112,,,,~(0,1),nnnXXXUXXX设随机变量相互独立同分布，则依概率收敛吗？如果依概率收敛，收敛于什么？1111101,ln(lnln).ln,,ln,,(ln)ln1,1.nnnnnnnpnXXYXXnXXEXxdxZ解：令Y则Z由辛钦大数定律，相互独立同分布，所以1.nZpnYee所以13大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。5.4,0,1AAnApnnnAlimPpn定理贝努里大数定理设事件在每次试验中发生的概率为，记为次独立重复试验中发生的次数则有：,,Anbnp证明：利用契比雪夫不等式，因故：11,AAnEEnnppnnn20,1AnpqPpnn于是，有2211AAnpqDDnnpqnnnn1AnnlimPpn即得：14§2中心极限定理•背景：有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。155.5定理独立同分布的中心极限定理21(,)niiXNnn（近似）～11niiXXn思考题：的近似分布是什么？2(,)Nn答案：122,,,,,,1,2,nniiXXEXDXi设随机变量X相互独立同分布，则当足够大时1()()().niibnanPaXbnn从而，165.6定理德莫佛--拉普拉斯定理2215.4,(1)2tbAnannplimPabedtnpp由定理10iiAXiA第次试验时发生证明：令第次试验时未发生2201,1,lim,(1)2AtbAnannAPAppnnpabPabedtnpp设为重贝努里试验中发生的次数，则对任何区间(]，有：12,,,,~(1,).niXXXXbp则相互独立同分布,12,AnnXXX由于()~(,(1)).AnNnpnpp即:近似()(1)()(1)APanbbnpnppanpnpp17•例3：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。121616,,,,XXX解：记只电器元件的寿命分别为16116iiXX则只电器元件的寿命总和为,2100,100iiEXDX由题设1611610016000,14100400iiXXYN根据独立同分布的中心极限定理:近似服从192011920PXPX19201600140010.80.211918•例4：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。200PX,,10000,0.017bnpnp解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X由德莫佛--拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：1000010000200PX20011npnpp12.3210.0110思考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案：0.93719•例5：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不小于2的概率。4000.020.982.8121(1)170.99382.8npqnpPXPXnpq,400,0.02b解：设机器出故障的台数为X则X，分别用三种方法计算：1.用二项分布计算400399210110.984000.020.980.9972PXPXPX2.用泊松分布近似计算4000.028,210110.0003350.0026840.9969.npPXPXPX3.用正态分布近似计算20•例6：12012020202111,,,~(1,1)111232020kkkkkkXXXUXXX设随机变量相互独立同分布，。分别求（），（），（）的近似分布。2020202111111202020kkkkkkXXX解：由中心极限定理，，，均近似服从正态分布。1()0,EX因为，1(),EX1221(),EX1314(),12DX132011~(0,),20kkXN近似16022111()()[()],DXEXEX1122015~(10,)3kkXN近似，2422111()()[()],DXEXEX1145945211~(,)nkkXNn近似11。322521•例7：（例1续）在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nA解：设在重贝努里试验中，事件出现的次数为X，,0.75bn则X,0.75,0.1875,EXnpnDXnpqn18750n契比雪夫不等式估计。0.740.76XPn0.760.750.740.75()()0.18750.1875nnnnnn32()175n3(2)2()10.9,75n由3()0.95,75n31.645,507475nn3(1)7500,0.740.762()12(2)10.954475nXnPn22关键词：总体个体样本统计量2分布t分布F分布第六章数理统计的基本概念23•引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。24§1总体和样本•总体：研究对象的全体。如一批灯泡。•个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。•抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn),n为样本容量简单随机样本：满足以下两