正交设计-方差分析

11.1正交试验方差分析的数学模型(一)根据一般线性模型的假定,若9次试验结果(如例10.2中的转化率)以x1、x2,…,x９表示,我们首先假定:(1)(2)为9个数据可分解为:x1=μ+a1+b1+c1+ε1x2=μ+a1+b2+c2+ε2x3=μ+a1+b3+c3+ε3x4=μ+a2+b1+c2+ε4x5=μ+a2+b２+c3+ε5x6=μ+a2+b3+c1+ε6x7=μ+a3+b1+c3+ε7x8=μ+a3+b2+c1+ε8x9=μ+a３+b３+c２+ε9其中:μ——一般平均;估计=∑xi=x1+x2+……+x9叫全a1、a2、a3表示Ab1、b2、b3表示Bc1、c2、c3表示C在不同水平时的效应。(3)各因素的效应为零,或者,各因素的效应的加和为零∑ai=0∑bi=0∑ci=0(4){εi}是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布N(0,1),所以多个试验误差的平均值近似等于零。(二)有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各由数理统计知识E（）＝μE（）——表示μ的一个无偏估计量。可表示为：_x_x_x_x_x11.2正交试验的方差分析法一、方差分析的必要性极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，可采用方差分析的方法。方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解，而你还进行统计检验的一直数学方法。二、单因素方差分析法方差分析法的基本思路：（1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差平方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表示；（2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素水平的变化对指标影响不大；如两者相差较大，组间变差平方和比组内变差平方和大得多，说明因素水平的变化影响很大，不可忽视；（3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向。例11.1考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同的温度，同一温度做了三次试验，结果如下：AA1A2A3A4A5温度(℃)6065707580得率(%)平均得率9097968484929396838688929388829094958584表2－1测定结果_89.6x总平均_2T11222____221112221.S()(221)(9089.6)(9289.6)......(8889.6)353.62.()()(222)3(9089.6)(9489.6)......(8489.6)303prijijppriiAijixxSxxrxx总（一）变差平方和的分解总变差平方和S组间变差平方和.6_2T11222____221112221.S()(221)(9089.6)(9289.6)......(8889.6)353.62.()()(222)3(9089.6)(9489.6)......(8489.6)303prijijppriiAijixxSxxrxx总（一）变差平方和的分解总变差平方和S组间变差平方和.6_2T11222____221112221.S()(221)(9089.6)(9289.6)......(8889.6)353.62.()()(222)3(9089.6)(9489.6)......(8489.6)303prijijppriiAijixxSxxrxx总（一）变差平方和的分解总变差平方和S组间变差平方和.6_2T11222____221112221.S()(221)(9089.6)(9289.6)......(8889.6)353.62.()()(222)3(9089.6)(9489.6)......(8489.6)303prijijppriiAijixxSxxrxx总（一）变差平方和的分解总变差平方和S组间变差平方和.6_21122222222223.()(223)(60)(65)(70)(75)(80)(60)(9090)(9290)(8890)8(65)(9794)(9394)(9294)14(70)(9695)(9695)(9395)6(75)(8485)(preijiijeeeeeeeeeSxxSSSSSSSSS组内变差平方和式中：222228684)(8284)14(80)(8484)(8684)(8284)8(60)(65)(70)(75)(80)50eeeeeeeTAeSSSSSSSSSS我们发现有：_21122222222223.()(223)(60)(65)(70)(75)(80)(60)(9090)(9290)(8890)8(65)(9794)(9394)(9294)14(70)(9695)(9695)(9395)6(75)(8485)(preijiijeeeeeeeeeSxxSSSSSSSSS组内变差平方和式中：222228684)(8284)14(80)(8484)(8684)(8284)8(60)(65)(70)(75)(80)50eeeeeeeTAeSSSSSSSSSS我们发现有：__21_2111.()ppp1()prrprpprprpiAipreijiijSrxxSxx（二）自由度个成分都是对总平均值的差，而全部差相加为领，所以个成分的约束的个数为1，独立成分的个数为（－）。2.个成分的平方和。由于个成分之和为零，所以独立成分是－＝（－1）个。则误差平方和自由度是（－1）。_2T11S()prprpr11(1)prijiijAeAeTAeAexxfffffffSSSfprfpfprTTT3.个成分的平方和。由于所有这些成分之和为零，独立成分是－1。所以总平方和的自由度是－1。用符号表示自由度，、、分别表示、、的自由度Ae22A2eA1(1)()()AAAeeSpSprErE_____（三）平均平方（均方）与均方期望值平均和除以自由度称为均方。记为S则：间均方S误差均方S它们的期望值为SS__//AAAeeSfSfSe（四）显著性检验F=SFFFF临临显著不显著AaAaFFaaAFFaAa例如当时，若＝0.05，就有（1－）100％即95％的把握说因素是显著的。若，则在水平下不能认为因素是显著的。通常是当试验精度很差时，可取得比较大。AAAFFFF表的用法：表上方横行的数字对应的分子的自由度，表左侧竖列的数字对于分母的自由度。横行与竖列的交叉点上的数字，就是的临界值。__AaAa0.050.05F/2aFF()3F,A*,A**,A,AAeAeAeAAAASSffffFFFFFF0.010.010.10.10检验的步骤：（1）计算F=（）根据自由度、及制定的显著性水平查表，得、（）比较F与，作出判断通常：（1）对a=0.05,F则说明因素显著，记为（2）对a=0.01,F则说明因素高度显著，记为（3）F则说明因素有一定影响，记为（4）F则说明因素无显著性影响246aAA/303.6/4115.18/50.0/102FP)a0.05a(4,10)3.5(4,10)6.0FFF,AAAeSffFFFFe0.050.01A0.050.01以例2－1为例，检验其中因素的显著性（）计算F=S（）查表（，对＝及＝0.01分别有（3）比较与说明因素高度显著。方差分析表如下方差来源变差平方和自由度平方差平方和F临FA显著性ASA=303.6475.93.515.18**eSe=50.0105.06.0总和22111112221111111()11()aSbbpprrrijijijjijijppprriijijiijijTAexxPKxprprQKxRxrrSRPSQPSRQi2（五）小结令KK=则有：当数据比较特殊时，还可以进行如下简化（1）每个数据加(减)同一个数，平方和不变。（2）每个数据乘(除)同一个数，相与的平方和增大(缩小)倍。11.3.1：正交设计方差分析的步骤11.3.2：3水平正交设计的方差分析11.3.3：混合型正交设计的方差分析11.3.4：拟水平法的方差分析11.3.5：重复试验的方差分析11.3：正交试验方差分析计算离差的平方和:设用正交表安排m个因素的试验，试验总次数为n,试验的结果分别为x1,x2,……,xn.假定每个因素有na个水平，每个水平做a次试验，则n=ana.1)总离差的平方和ST记:记为其中ST反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差。11.3.1正交设计方差分析的步骤nkkxnx11211212)(1)(nkknkknkkTxnxxxSPQSTTnkkTxQ1221)(1nkkxnP2)各因素离差的平方和下面以计算因素A的离差的平方和SA为例来说明。设因素A安排在正交表的某列，可看作单因素试验。用xij表示因素A的第i个水平的第j个试验的结果(i=1,2,…,na;j=1,2,…,a)，则有:由单因素的方差分析记为其中Ki表示因素的第i个水平a次试验结果的和。SA反映了因素A的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素A对试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对于两因素的交互作用，我们把它当作一个新的因素。如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。比如SAxB=S(AxB)1+S(AxB)2aninkkajijxx1112112112112)(11)(1)(1nkkniininiajijajijAxnKaxnxaSaaaPQSAAaniiAKaQ121ajijixK13)试验误差的离差的平方和SE设S因+交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，因为ST=S因+交+SE,所以SE=ST-S因+交计算自由度:试验的总自由度f总=试验总次数-1=n-1各因素的自由度f因=因素的水平数-1=na-1两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积fAxB=fAXfB试验误差的自由度fE=f总-f因+交计算平均离差平方和(均方):在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和,它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。因素的平均离差平方和=(因素离差的平方和)/因素的自由度=S因/f因试验误差的平均离差平方和=(试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度=SE/fE求F比:将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，得出F值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。对因素进行显著性检验:给出检验水平α，从F分布表中查出临界值Fα(f因，fE)。将在“求F比”中算出的F值与该临界值比较，若FFα(f因，fE)，说明该因素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。11.3.2：3水平正交设计的方差分析例1(无交互作用):磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键