1.3有阻尼的自由振动解析

第三节有阻尼的自由振动阻尼有各种来源。两物体之间的干摩擦，在润滑表面之间的滑动摩擦，气体或液体等介质阻尼以及材料的内阻尼等。在无阻尼的自由振动中，由于机械能守恒，系统保持等幅振动。实际上，在振动时，系统中不可避免地存在着阻尼，振幅将会随时间的延长而衰减，逐渐趋于零，因此阻尼对振动的影响不可忽略。一、粘性阻尼系统的自由振动定义:粘性阻尼——物体沿润滑表面滑动或在流体中低速运动时的阻尼。xcFcc0kxxcxm2020xxxmk0mc2kmc20tex22002021,20(1)粘性阻尼力为粘性阻尼系数标准型：无阻尼系统的固有频率阻尼系数阻尼比令导入本征方程为：本征值：粘性阻尼系统的运动微分方程为：方程通解的性质分三种情况讨论：本征值依赖于阻尼比1.欠阻尼状态022,1)1(itteCeCtx2121)(2200(1)(1)1222102012{}{cos(1)sin(1)}{cossin}itittttddeCeCeeAtAteAtAt0)0(,)0(0xxxx,01xA0200021xxA常数A1、A2由初始条件决定，1方程通解可表示为：()sin()tdxtAet有阻尼振动的初始幅值有阻尼振动的初相角有阻尼振动的固有频率结论：有阻尼振动的固有频率小于无阻尼振动的固有频率，是系统固有的物理参数。有阻尼振动的周期大于无阻尼振动的周期200202221dxxxAAA000arctanxxxd201d20122ddT由于阻尼作用引起能量耗散，在欠阻尼的情况下，阻尼使无阻尼自由振动的固有周期增加，频率降低。当时，阻尼对频率或周期的影响可以忽略，但它对振幅按几何级数衰减，即1itiAAe)(11diTtiAeAdTiieAA1ddTTn0212即相邻两个振幅之比——减缩系数，非常明显地反映阻尼造成的衰减效果，记做，实际计算时，常用对数系数，20122ddT一般为：用途：此公式在振动实验中有重要应用（利用实验测出对数减缩并换算出阻尼比）当时，11ln1jAAj12在单自由度欠阻尼自由振动线性系统中，常用两种方法求对数减缩率：21211ln1jAAj21例题1系统衰减振动的振幅在10次振动的过程中，由A1=3cm缩小到A2=0.06cm，求对数减缩率。11113lnln0.391100.06jAjA解：例题2对于阻尼较小的系统，实验中有时可用半振幅方法测定相对阻尼系数在振幅衰减曲线的包络线上已测得相隔N个周期的两点、之间幅值减小一半，试确定。PR0.1PR解：振幅衰减曲线的包络线方程为ntxAe设、两点在包络线上的幅值为、则02dNTPRxex22ln21Nln20.112NN2ln2NPxRx当时可近似为1N是周期数20122ddTln20.112NN此式对工程估算微弱阻尼系统的值很方便的。例如在衰减曲线的点测出经过2.25个周期的点测出1PR0.562PRxxcm0.11=0.0492.251.12pxcm注意：公式使用范围为幅值减小一半2.临界阻尼状态102,1texCCtx)()(210)0(xx0)0(xx0000()[()]txtxxxtet00te通解：初始值可以看出：时，指数衰减运动，非振动。3.过阻尼状态1022,1)1(tteCeCtx0202)1(2)1(1)(t0)(tx通解：可以看出：时，是指数衰减运动，非振动。例题1由弹簧k、阻尼器c及质量为m的匀质杆，组成的系统如图。试求：系统的动力学方程；发生自由振动的条件；最大初始转角；不产生振动的条件；对数减缩率。1ooJM22AJakxlcxaklc220AJlcak220AAlcakJJAJka0AJcl22231mlJA解：（1）由动量矩定理系统的动力学方程：（2）由上式得：320mkalc132mkalc32mklac发生自由振动的条件：(0)jxa0AM2jlkxamg2jmglxka2(0)2mglak（3）原长处根据132mklac132223lclcmkamka（4）不产生振动的条件：（5）对数减缩率二．等效粘性阻尼阻尼的主要作用是转移系统的能量。当无简谐激励作用时，由于阻系统能量的损失，导致自由振动幅值的衰减；当有简谐激励作用时，由于简谐激励不断做功，对系统输入的能量平衡阻尼引起的能量损失，简谐激励的稳态响应时等幅振动。等效阻尼的原则是令在一个周期内，(1)非粘性阻尼耗散的能量与等效粘性阻尼耗散的能量相等(2)具有相同的简谐运动幅值。实用意义：将复杂的阻尼机理用等效粘性阻尼替代，简化了分析过程。E)sin(0tAx当系统作简谐振动时，粘性阻尼在一个周期内耗散的能量近似利用无阻尼振动规律得：2000220202)(cosAcdttAcdtxcdxxcETT)(dtxdx遵循库仑定律，即摩擦力与接触物体间的正压力成正比，与运动方向相反。1.干摩擦阻尼NFxFFNdsgnxsgn10sgn0010xxxxAFdxxFENN4sgnAFcN04为摩擦因数为符号函数，定义为：导出：得出，等效阻尼系数与振幅成反比，即:xxcFddsgn2dc3303442382sgnAcdtxcdxxxcEdTTddAccd0382.平方阻尼在低粘度流体介质中以较大速度运动的物体，阻力接近于与速度平方成正比，与运动方向相反。为阻力系数得出，等效阻尼系数与振幅成正比，即：2AE0c结构阻尼所耗散的能量等于滞环曲线所围的面积，其面积与振幅的平方成正比。等效粘阻系数可代入与粘性阻尼有关的方程计算出自由振动规律，在工程实践中，它也可通过实验测出。3.结构阻尼结构阻尼是由于材料为非完全弹性，变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼。大量实验表明：为比例系数得出，等效粘阻系数仅取决于材料的物理性质，即：作业：p281.9