一线名师指点08高考同步辅导第28讲 平面向量的数量积

一线名师指点08高考同步辅导第28讲:平面向量的数量积【考点回放】1．两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆规定00a新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影．投影的绝对值称为射影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的模与平方的关系：22||aaaa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆乘法公式成立：2222abababab；2222abaabb222aabb6新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆平面向量数量积的运算律：①交换律成立：abba②对实数的结合律成立：abababR③分配律成立：abcacbccab特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；（2）消去律不成立abac不能得到bc（3）ab=0不能得到a=0或b=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆7．两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)axybxy，则a·b=1212xxyy．8．向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=（001800）叫做向量a与b的夹角新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆cos=cos,ababab=222221212121yxyxyyxx．当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆9新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆10新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝O02121yyxx奎屯王新敞新疆平面向量数量积的性质【考点解析】1.（2004年全国Ⅰ，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于A.7B.10C.13D.4解析：|a+3b|=23）（ba=2296bbaa=960cos1161=13.答案：C2.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a的模是A.2B.4C.6D.12解析：（a+2b）·（a－3b）=|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2=|a|2－2|a|－96=－72，∴|a|2－2|a|－24=0.∴（|a|－6）·（|a|+4）=0.∴|a|=6.答案：C3.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是A.λ＞310B.λ≥310C.λ＜310D.λ≤310解析：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞310.答案：A4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为____________.解析：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）.∵AB与a同向，∴可设AB=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）.∴|AB|=2232）（）（=213，∴λ=2.则AB=（xB－xA，yB－yA）=（4，6），∴.64ABAByyxx，∵，，21AAyx∴.45BByx，∴B点坐标为（5，4）.答案：（5，4）（文）已知点A（－1，－5）和向量a=（2，3），若AB=3a，则点B的坐标为____________.解析：设B点坐标为（xB，yB），则AB=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），∴.9561BByx，∴.45BByx，∴B（5，4）.答案：（5，4）5．（2006安徽卷）如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形解析：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222ABC是钝角三角形。故选D。6．（2006北京卷）若a与bc都是非零向量，则“abac”是“()abc”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解析：abacabac0－＝abc0（－）＝abc（－），故选C7．（2006福建卷）已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（A）5（B）4（C）3（D）1解析：向量a与b的夹角为120o，3,13,aab3||||cos120||2ababb，ADCB图1222||||2||abaabb，∴21393||||bb，则b=－1(舍去)或b=4，选B.8．（2006湖北卷）已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则baA.41B.4C.21D.2解析：由a＋2b与a－2b互相垂直（a＋2b）（a－2b）＝0a2－4b2＝0即|a|2＝4|b|2|a|＝2|b|，故选D9．（2006湖南卷）已知||2||0ab,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.[0,6]B.[,]3C.2[,]33D.[,]6解析：,0||2||ba且关于x的方程0||2baxax有实根，则2||4aab≥0，设向量,ab的夹角为θ，cosθ=||||abab≤221||1412||2aa，∴θ∈],3[，选B.10．（2006湖南卷）已知向量),2,1(),,2(bta若1tt时，a∥b；2tt时，ba，则A．1,421ttB.1,421ttC.1,421ttD.1,421tt解析：向量),2,1(),,2(bta若1tt时，a∥b，∴14t；2tt时，ba，21t，选C.11．（2006辽宁卷）ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)23解析：222//()()()pqaccabbabacab，利用余弦定理可得2cos1C，即1cos23CC，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。12．（2006全国卷I）已知向量ab、满足1,4,ab，且2ab，则a与b的夹角为A．6B．4C．3D．2解析：向量a、b满足1,4,ab且.2ab,设a与b的夹角为θ，则cosθ=||||abab=21，∴θ=3，选C.13．（2006全国II）已知向量a＝（4，2），向量b＝（x，3），且a//b,则x＝（A）9(B)6(C)5(D)3解析：a//b4×3－2x＝0，解得x＝6，选B14．(2006陕西卷)已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||ABACA