第七章 回归正交试验设计

第七章回归正交试验设计回归正交试验设计将正交试验设计和回归分析两者的优势统一起来，它可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。7.1一次回归正交试验设计及结果分析一次回归正交设计欲建立如下的回归方程：mmxbxbxbay2211ˆ或mjjkjkkjjj)kj(m,,,kxxbxbayˆ1121，17.1.1一次回归正交设计的基本方法1.确定因素的变化范围设因素xj的变化范围为[xj1,xj2]，分别称xj1和xj2为因素xj的下水平和上水平，取它们的算数平均值2210jjjxxx称xj0为xj的零水平。Xj的变化间距用△j表示：02jjjxx或212jjjxx27.1一次回归正交试验设计及结果分析2.因素水平的编码将xj的各水平进行如下的线性变换：jjjjxxz0Zj就是xj的编码，两者一一对应。规范变量zj自然变量xjx1x2…xmzj1=-1zj0=0zj2=1△jx11x10x12△1x21x20x22△2…………xm1xm0xm2△m因素水平编码表37.1一次回归正交试验设计及结果分析由于规范变量zj的取值范围都在[－1，1]之间，不受自然变量xj的单位和取值大小的影响，所以将y与xj之间的回归转化为y与zj之间的回归问题，会大大简化回归计算量。3.一次回归正交设计表将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，即可得到一次回归正交设计表。例如经过变换后得到如下的回归正交设计表：)2(78L试验号1234567123456781111-1-1-1-111-1-111-1-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-11-1-11-111-1-111-1-111-1-11-111-147.1一次回归正交试验设计及结果分析回归正交表具有如下的特点：（1）任一列编码的和为001Nijiz或mjzj,,2,10，（2）任意两列编码的乘积之和等于零)(1,,2,101kjmkzzNikiji，说明回归正交设计表同样具有正交性，可使回归计算大大简化。57.1一次回归正交试验设计及结果分析4.试验方案的确定交互作用列的编码正好等于表中对应两列因素编码的乘积，所以用回归正交表安排交互作用时，可以不参考正交表的交互作用表，直接根据这一规律写出交互作用列的编码。试验号1(z1)2(z2)3(z1z2)4(z3)5(z1z3)123456789101111-1-1-1-10011-1-111-1-10011-1-1-1-111001-11-11-11-1001-11-1-11-110067.1一次回归正交试验设计及结果分析上表中第9、10号试验称为零水平试验或中心试验，安排零水平试验的目的是为了进行回归方程的失拟检验，如果不考虑失拟检验，也可以不安排零水平试验。7.1.2一次回归方程的建立设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为mc，零水平试验次数为m0，即有：0mmNc建立回归方程其系数的计算公式如下：mjjkjkkjjjkjmkxxbxbay1)(1,,2,1ˆ，77.1一次回归正交试验设计及结果分析NiiyyNa11mjmyzbcNiijij,,2,11，1,,2,1,)(1mkkjmyzzbcNiiijkkj，式中zji表示zj列各水平的编码，(zkzj)i表示zkzj列各水平的编码。87.1一次回归正交试验设计及结果分析通过上述方法确定偏回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转成标准回归系数，回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负。7.1.3一次回归方程及偏回归系数的显著性检验1.无零水平试验时(1)计算各种平方和NiNiNiiiiyyTyNyyyLSS112122)(1)(①总变动平方和97.1一次回归正交试验设计及结果分析②一次项zj偏回归平方和mjbmSSjcj，，，＝，212③交互项zkzj偏回归平方和1,,2,1,2mkkjbmSSkjckj，④回归平方和UkjjSSSSU⑤剩余平方和QUSSQT107.1一次回归正交试验设计及结果分析1NfT②偏回归平方和自由度1kjjff③回归平方和U自由度kjjUfff(2)计算各种平方和的自由度①总变动平方和自由度④剩余平方和Q自由度UTQfff117.1一次回归正交试验设计及结果分析(3)计算均方差①一次项偏回归平方和均方差jjjfSSV/②交互项偏回归平方和均方差kjkjkjfSSV/③回归平方和均方差UUfUV/④剩余平方和均方差QQfQV/127.1一次回归正交试验设计及结果分析(4)显著性检验①回归方程的显著性检验),(~//QUQUffFfQfUF②偏回归系数的显著性检验),(~//QjQjjjffFfQfSSF经偏回归系数显著性检验，证明对试验结果影响不显著的因素或交互项，可将其直接从回归方程中剔除，不需要重新建立回归方程，但应将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。137.1一次回归正交试验设计及结果分析147.1一次回归正交试验设计及结果分析用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个因素进行考察，并考虑交互作用x1x2、x1x3。已知x1=300～700℃,x2=1800～2400℃，x3=8～10mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系。规范变量zj自然变量xjx1x2x31-10△j70030050020024001800210030010891因素水平编码表157.1一次回归正交试验设计及结果分析试验号z1z2z1z2z3z1z3得率yy2z1yz2yz3y(z1z2)y(z1z3)y123456781111-1-1-1-111-1-111-1-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-11-1-11-110.5520.5540.4800.4720.5160.5320.4480.4840.3047040.3069160.2304000.2227840.2662560.2830240.2007040.2342560.5520.5540.4800.472-0.516-0.532-0.448-0.4840.5520.554-0.480-0.4720.5160.532-0.448-0.4840.552-0.5540.480-0.4720.516-0.5320.448-0.4840.5520.554-0.480-0.472-0.516-0.5320.4480.4840.552-0.5540.480-0.472-0.5160.532-0.448-0.484∑4.0382.0490440.0780.270-0.0460.0380.058167.1一次回归正交试验设计及结果分析0057508046003375082700009750807805047508038411813381228111810..myzb..myzb..myzb..yNbCiiiCiiiCiiiii、177.1一次回归正交试验设计及结果分析2133112312132181311381211220072500047500057500337500097505047500072508058000475080380xxxxxxxzz.zz.z.z.z..y..my)zz(b..my)zz(bCiiiCiii主次顺序为：因素的数绝对值的大小，可得、由回归方程偏回归系回归方程为：187.1一次回归正交试验设计及结果分析000123001074100004210007250800018100047508000265000575080091130033750800076100097508010864003848104904421313123212213132212122233222222112812812.USSQ.SSSSSSSSSSU..bmSS..bmSS..bmSS..bmSS..bmSS...yNySSTCCCCCiiiiT、197.1一次回归正交试验设计及结果分析差异源SSfVF显著性z1z2z3z1z2z1z3回归残差0.0007610.0091130.0002650.0001810.0004210.0107410.00012311111520.0007610.0091130.0002650.0001810.0004210.0021480.00006212.27146.984.272.926.7934.65***总和0.0108647F0.05（1,2）=18.51F0.01（1,2）=98.49只有因素z2对指标影响高度显著，其余因素及交互项的影响不显著。回归方程显著。F0.05（5,2）=19.30F0.01（5,2）=99.30207.1一次回归正交试验设计及结果分析差异源SSfVF显著性回归（z2）残差0.0091130.001751160.0091130.00029231.21**总和0.0108647F0.05（1,6）=5.99F0.01（1,6）=13.74将z1、z3、z1z2、z1z3的平方和并入误差项可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：2033750504750z..y217.1一次回归正交试验设计及结果分析22220001125026850300210003375050475030021004x..x..yxz，代入回归方程：立回归方程：、回归方程的回代，建2.有零水平试验时剩余平方和Q失拟因素重复试验误差非x的一次项非x项失拟平方和SSe1重复试验误差平方和SSe2前面介绍的回归方程显著性检验，只能说明回归方程是显著的，至于失拟因素对试验结果的影响不得而知，如果失拟因素的影响也是显著的，那么原来建立的一次正交回归的数学模型不合理，需要重新考虑拟合的数学模型。只有数学模型合理而且据此得到的回归方程显著时才有意义。当零水平试验次数m0≥2，可进行回归方程的失拟性检验。227.1一次回归正交试验设计及结果分析设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0，则：0001121002020021)(mimimiiiieymyyySS）（102mfe221eeTeSSQSSUSSSS221eQeUTeffffff①重复试验误差变动平方和及其自由度：②失拟平方和及其自由度：237.1一次回归正交试验设计及结果分析(1)回归方程拟合度检验——拟合的数学模型是否合理),(~//2122111eeeeeeffFfSSfSSF当F1F，回归方程失拟不显著，所建立的模型合理，可以进行后续的F2检验。(2)回归方程显著性检验——回归方程是否显著当F1F，回归方程失拟显著，所建立的模型不合理，应该考虑那些失拟因素重新建立数学模型。),(~//2QUQUffFfQfUF247.1一次回归正交试验设计及结果分析当F2F，回归方程显著，否则回归方程不显著。只有F1检验不显著，而F2检验显著时所建立的回归方程才有意义。257.1一次回归正交试验设计及结果分析267.1一次回归正交试验设计及结果分析某产品的收得率与反应温度x1(70～100℃)、反应时间x2(1~4h)及某反应物含量x3(30%~60%)有关，不考虑因素间的交互作用。选用正