3 断裂力学基础

3断裂力学基础韧、脆两类材料在有、无裂纹存在时，强度指标有所不同，其描述的理论和失效判据也不同。材料裂纹情况断裂方式强度指标适用理论脆性材料无裂纹脆性断裂σth键合理论脆性材料有裂纹更脆性断裂KⅠC线弹性断裂力学韧性材料无裂纹韧性断裂σs、σb材料力学韧性材料有裂纹小范围屈服修正后KⅠC修正后线弹性断裂力学韧性材料有裂纹大范围屈服J、COD弹塑性断裂力学由此可见，材料中是否存在裂纹，对材料强度、断裂方式有很大影响，甚至影响到工程结构强度设计方法。断裂力学分析方法及本章内容•断裂力学分析方法：—局部参数法：着眼于裂纹尖端附近的应力场和位移场，以表征其特征的参数来描述断裂问题，其参数有：K、COD、J积分—能量法：裂纹的扩展会导致含裂纹体的应变能或势能随之发生变化，可通过能量变化关系来确定断裂发生条件。其参数有：G、R•本章内容—裂纹尖端应力场强度因子K及临界值Kc—裂纹扩展能量释放率G及临界值Gc—裂纹尖端张开位移δ（CTOD）及临界值δc—J积分及临界值Jc断裂力学局部参数法基本内容线弹性断裂弹塑性断裂裂纹尖端应力场断裂力学场参量场参量临界值断裂判据σi,jKKCK≥KCui,jδδCδ≥δCσi,jJJCJ≥JC应用：结构设计、材料选择、安全校核基本步骤3.1裂纹尖端应力场强度因子及断裂韧度3.1.1裂纹尖端应力场强度因子对含裂纹体，沿裂纹线平面上y方向应力σy与所研究点到裂纹尖端距离r有如下关系：21ryKry21或当r→0时，σy→∞，表明裂纹尖端前沿应力场具有阶奇异性。参数K表征了应力场奇异性程度，称为“应力场强度因子”。K的形式和数值取决于裂纹几何以及外加应力，通常由下列方法得到：•解析法－仅对形状和受力状况简单的场合适用；•数值外插法－针对边界条件复杂的情况；•有限元法；•柔度试验法。21r无限大平板含中心穿透裂纹的裂纹尖端应力场模型：含2a长中心穿透裂纹无限大平板受均匀拉伸应力σ23sin2sin12cos2rKx23sin2sin12cos2rKy23cos2cos2sin2rKxy0zyxz（平面应力－薄板）（平面应变－厚板）裂尖前沿应变场、位移场（平面应变）23sin2sin212cos21rEKx23sin2sin212cos21rEKy23cos2cos2sin21rEKxy2sin212cos212rKEu2cos222cos212rKEv应变场位移场裂纹尖端应力场强度因子通式aK单位：或21mMPa23mKNaYK式中，Y－裂纹形状系数，取决于裂纹类型，可查表。KⅠ综合反映了外加应力和裂纹几何（包括裂纹长度、位置、形状）对裂纹尖端应力场大小的影响。通式：特例－含2a长中心穿透裂纹的无限大平板受远场均匀拉伸应力σ3.1.2断裂韧度KⅠC及断裂判据CCCaYKⅠ材料的KⅠC越高，则裂纹体的断裂应力或者临界裂纹尺寸越大，表明材料难以断裂。故KⅠC是一个材料参数，表征材料抵抗断裂的能力。因此，含裂纹构件断裂与否的判据即为：CKK当名义应力和裂纹尺寸单独或者共同增大时，KⅠ和裂纹尖端各应力也随之增大，当名义应力增加到临界值σc或裂纹尺寸增大到临界值ac时，裂纹尖端前沿足够大的范围内应力达到了材料的解理断裂应力，裂纹便失稳扩展而导致材料断裂。对应于这个临界或者失稳状态的KⅠ值记做KⅠC或者KC，称为断裂韧度:断裂韧度与板厚度的关系一般随板厚增加，KⅠC先升、后降、再达到一定厚度后保持不变。因此，工程上KⅠC是指达到一定厚度后（平面应变）断裂韧度。25.2sCKB常用工程材料的断裂韧度复合型裂纹断裂判据在很多实际情况下，裂纹所受载荷常常是几种形式的复合，或者裂纹扩展方向与应力方向呈一定的角度。我们把这一类裂纹归结为复合型裂纹。在断裂力学中，对每一种单独的裂纹类型，都有相应的应力场强度因子KⅠ、KⅡ、KⅢ，以及相应的临界应力场强度因子KⅠC、KⅡC、KⅢC。因此在混合模态下，可采用“椭球法则”来确定裂纹失稳扩展临界条件：1222CCCKKKKKKⅢⅢⅡⅡⅠⅠ此法则虽然形式简单，但很不适用，材料参数过多，如KⅡC、KⅢC对一般材料而言均为未知。故有效判据应该只含有一个基本参数KⅠC，例如：•应变能密度准则（S判据）；•最大周向正应力准则（σθmax判据）。（1）应变能密度准则（S判据）复合型裂纹在其最小应变能密度因子Smin等于某一临界值Scr时，沿Smin方向扩展，记为：crSSmin（1）以Ⅰ＋Ⅱ型复合裂纹为例，根据弹性力学，应变能密度为：222221121rrrEEdVdU（2）复合型裂纹尖端处的应力，可通过Ⅰ和Ⅱ型应力场叠加得到：23cos432cos4123sin432sin4323sin432sin45223sin412sin4123cos412cos4323cos412cos452rKrKrrⅡⅠ（3）（1）应变能密度准则（续1）将（3）式代入（2）式，得到裂纹尖端处应变能密度：2221221121ⅡⅡⅠⅠKaKKaKardVdU（4）coscos116111ka1cos2sin16112ka1cos3cos1cos1116122ka43k13k（平面应变）（平面应力）式中，μ－切变模量；ν－泊松比。（1）应变能密度准则（续2）令：222122112ⅡⅡⅠⅠKaKKaKaS（5）而失效临界条件为：crSKaKKaKaS222122112ⅡⅡⅠⅠ（7）裂纹扩展时应沿最小S方向（θm），即满足：0ddS022dSd且（6）在纯Ⅰ型加载条件下，有：211min0ⅠⅠⅠKaSS（8）临界时，有：22111612CCcrKkKaSⅠⅠ（9）将（9）式代入（7）式得：CKKaKKaKakmⅠⅡⅡⅠⅠ212221221121216（2）最大周向正应力准则（σθmax判据）两个假设：•裂纹开始扩展沿着周向正应力达到最大的方向；•当这个方向的应力场强度因子达到临界值KⅠC时，裂纹开始失稳扩展：CrKrmax02lim（1）Ⅰ+Ⅱ复合型裂纹尖端应力场为：23cos432cos4123sin432sin4323sin432sin45223sin412sin4123cos412cos4323cos412cos452rKrKrrⅡⅠ（2）（2）最大周向正应力准则（续）根据假设（1），裂纹扩展方向应满足：，则有：0dd01cos3sinmmKKⅡⅠ（3）由（3）式解得：48arctan22＋ⅡⅠⅡⅠKKKKm（4）由于在θm方向上，σθ达到最大值σθmax，则τrθ(θm)=0，即σθmax为主应力，且满足：rKrKKmmmm22sin232cos2cosmax2maxⅡⅠ（5）故可认为Kθmax实际上相当于Ⅰ型裂纹应力场强度因子，则断裂判据为：CmmmKKKKsin232cos2cos2maxⅡⅠ3.1.3裂纹尖端塑性区及KⅠ修正22132322212sVonMises屈服判据:213221421xyyxyx222421xyyxyx由材料力学原理可知一点的三个主应力为：21221SinCosrK21222SinCosrK将裂尖各应力分量带入上式可得：213再将裂尖各主应力带入上边的VonMises屈服判据，便可得到裂纹尖端前沿塑性区的形状及尺寸。塑性区形状及尺寸塑性区边界方程：202241sKrIrwin修正为：若取ν=0.3，则：20121sKr2202221sKr在x轴上，θ=0，塑性区宽度r0为：（平面应力）（平面应变）010261rr应力松弛后的塑性区2011sKR202221sKR局部塑性变形会造成应力松弛，这样还会使塑性区尺寸进一步增大。从能量上考虑，阴影区面积应等于矩形BDEC的面积，由此可求出松弛后塑性区宽度为：平面应力平面应变三维塑性区形状及塑性区内应力分布金属断裂韧度贡献主体2sKRKⅠ的修正（等效裂纹）yraYK等效裂纹修正后的应力场强度因子：22116.021ssyKKr222056.0241ssyKKrry恰好为应力松弛后塑性区半宽，即：（平面应力）（平面应变）则修正后的应力场强度因子为：22116.01sYaYK222056.01sYaYK（平面应力）（平面应变）7.0~6.0s修正条件：3.1.4断裂韧度在工程中的应用•结构设计对于给定的材料，根据已知的断裂韧度，计算结构许用应力，针对要求的承载量，设计结构的形状。•材料选择根据结构的承载要求以及可能出现的裂纹类型，计算可能的最大应力场强度因子，选择能满足断裂韧度要求的材料。•安全校核根据结构承载能力、材料断裂韧度，计算材料的临界裂纹尺寸，与实测裂纹尺寸相比较，校核结构的安全性，判断材料脆断倾向。•材料开发根据断裂韧度的影响因素，有针对性地设计材料的成分、晶体结构、组织形态，开发新材料。CCCaYK基本原理：（1）选择材料22sCcKa从承载和安全角度选择材料，要求材料具有高的σs和KIC。但是σs和KIC之间的关系一般为此消彼长。因此：•对低σs材料，屈服和塑性变形是主要失效危险；•对高σs材料，缺陷造成低应力破坏是主要的危险。对以脆断为主要失效形式的结构，（KIC/σs）比值是选材的主要依据。由于在强度设计中经常选择工作应力是屈服强度的一个固定分数（α），则根据断裂力学概念，有：此式表明，（KIC/σs）比值大的材料，临界裂纹尺寸大，材料容许的缺陷尺寸大，即裂纹容限大。（1）选择材料（续1）在依据（KIC/σs）比值选择材料时，构件厚度B是不可忽视的因素，因为厚度会影响材料的断裂韧度。如果选择高KIC、低σs的材料，在承受同样载荷要求下，必须增加厚度，这往往导致KIC降低，甚至低于低KIC、高σs材料的断裂韧度，如图所示例子：不同强度、韧度材料的裂纹容限计算构件中的临界裂纹尺寸，可以评价材料的脆性。一般构件中，较常见的是表面半椭圆裂纹，从安全角度取Y=2，如果不考虑塑性区的影响，则裂纹临界尺寸可由下式估算：225.0CcKa①超高强度钢这类钢屈服强度很高，但断裂韧度较低。例如某构件的工作应力为1500MPa，而材料的KⅠC=75MPa.m1/2，则：mmac625.