《数系的扩充与复数的概念》正式

3.1.1《数系的扩充与复数的概念》数系是怎样扩充的？从整数集发展到实数集的过程，解决了哪些问题？数系的扩充自然数整数有理数实数？NZQR用图形表示包含关系：复习回顾知识引入对于一元二次方程没有实数根．012x我们已知知道：12x我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？12i引入一个新数：i满足现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。实部复数的代数形式：通常用字母z表示，即biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位。i复数集C和实数集R之间有什么关系？讨论？复数a+bi000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？用韦恩图表示思考？复数集虚数集实数集纯虚数集1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数72618.0i72i29331i2i5+8，i0实数72618.002i虚数i7231i5+8，ii293纯虚数31ii722、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数错错对例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m练习:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数immmZ)1(222如何定义两个复数的相等？注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca例2已知，其中求iyyix)3()12(Ryx,.yx与复数相等的问题转化求方程组的解的问题211(3)xyy解：根据复数相等的定义有解得x=2.5，y=41.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数dicbiadbca*Znni424ni34ni14ni1-1iiB你能否找到用来表示复数的几何模型呢？xo1实数可以用数轴上的点来表示。一一对应规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数数轴上的点(形)(数)(几何模型)复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题平面向量OZ实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa|a|=|OA|实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOz=a+biy|z|=|OZ|复数的绝对值(复数的模)Z(a,b)0)(a0)(aaa22ba复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。例3求下列复数的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？思考：(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a0)(1)复数的模能否比较大小？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？图示xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–5522yxz034543054303-4-5-yx(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。辨析：1．下列命题中的假命题是（）D2．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）。(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件C例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。解题思考：表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想