转动惯量

一、刚体的运动二、刚体定轴转动定律三、转动惯量的计算本讲内容四、刚体定轴转动定律应用演示实验：环、盘、球从顶端滑下到底，试问所用的时间是否相同？一、刚体的运动刚体的平动和转动:刚体是一种特殊的质点系统。刚体是由大量质点组成的，在力作用下，组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变.1.刚体的平动特点：BABAAB////ABABBA刚体的平动的基本特征是各点运动状态都相同,因此刚体做平动运动我们可以将它看成质点。2.刚体的转动刚体绕固定轴的转动。刚体绕某固定点的瞬时轴的转动。3.刚体的一般运动：质心的平动与刚体绕质心的转动叠加转轴Ot时刻t+t时刻ocv.1.各点绕轴作半径不同的圆周运动2.各转动平面垂直于转轴3.各点的，，相同zABA’B’刚体定轴转动时线量与角量的关系：222dd;;dd;tRaRatRvtn刚体的定轴转动和定点转动:定轴转动——转轴相对于某参考系静止不动定点转动——例:陀螺旋进定轴转动：tLFriiidd外M二、刚体的定轴转动定律iiiPrL质点系的角动量定律质点系角动量对刚体转动规律的研究方法是把质点力学的规律应用到组成刚体的质点系。质点→质点系→刚体对轴的力矩OiRzOMiz的计算质元到转轴的垂直距离iFizFiFdmiivαi只有使刚体绕Z轴转动FiiiFRM质元对O点的力矩质元对轴的力矩：在z轴上的分量iMiiziFrMirizriiiizFrMsin对轴的角动量OiRzOLiz的计算irizrdmiiviLLiz质元到转轴的垂直距离质元对点O的角动量iiiivmRLdiiiizvrmLd质元对轴的角动量iiiFRM质元对点的力矩质元对轴的力矩iiziFrM质元对点的角动量iiiivmRLd2ddiiiiiizrmvrmL质元对轴的角动量刚体对转轴的力矩iiizFrMsin刚体对转轴的角动量ziizIrmL2dzzzZItItLMdddd转动惯量2diizrmItLMzZdd刚体定轴转动的定律2、是合外力矩，Mz，I，均对同一转轴。ZM说明：1、力矩MZ是刚体转动状态改变的原因MZ=IZ是MZ与的瞬时作用规律.恒量，则IMZ0刚体定轴转动的角动量定理当刚体质量连续分布时：三、转动惯量的计算zZIM转动惯量2diizrmIOxxmddxRdSdmdVdm刚体定轴转动的定律mrId2lSVmdddd其中：1.转动惯量决定于刚体质量及对轴的质量分布。2.同一刚体对不同的轴的转动惯量一般是不同的。3.转动惯量是转动惯性大小的量度(kgm2)。平动、转动的类比：;;;;;;;IIMmmvvF刚体对某轴的转动惯量越大，刚体绕该轴转动的角速度就越难改变。说明：mrId2lSVmdddd其中：转动惯量20231dmLxxLmIL2222121dmLxxLmILL)d2(20LII或O例：质量为m，长为L的均匀细棒对某轴的转动惯量。1.对中心轴解：mxIdd22.对端轴解：xxmddxOxmdxLxxd2xLmxd2mrId2平行轴定理2mdIIc20dmRmRIR例求质量为m、半径为R的均匀细圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。ROI是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。dmmRIdd2细圆环和薄圆筒对中心轴的转动惯量相同；同理，圆盘和圆拄对中心轴的转动惯量相同。解：例：求密度均匀圆盘(R、m)对垂直盘面的中心轴的转动惯量.解：2RmmrIdd220321d2mRrrIR质量面密度rrrd22R圆盘和圆拄对中心轴的转动惯量相同。例：圆环带(R1,R2,m)，对垂直盘面的中心轴的转动惯量.解：)(2122RRm)(21d22221321RRmrrIRR本题还可以应用“负”质量法求解。请同学自行验证。m1R2R由定义式求转动惯量的方法步骤：1）在刚体上选取一个质元dm；2）计算dm到转轴的距离r.3)求出积分:mrIddI2OxxmddxdROsinRRrrmd2d例：组合体的转动惯量：1.匀质杆与质点球，2.匀质盘+匀质盘（如滑轮组）解：1.22)2(121LmMLI2.2222112121RmRmI常见的刚体转动惯量见下表，要牢记！Mm2L2L11,mR22,mR组合体对某定轴的I，等于各刚体对同一转轴I之和。转动惯量具有可叠加性。RR2MRIOO'22MRIROO'OO'rROO')(222rRMI22MRIOO'22MRIRL12422MLMRIRLOO'2R522MRI球体OO'球壳2ROO'322MRI例：阿特伍德机由一轻绳跨过一定滑轮组成.绳两端分别悬挂质量为m1和m2和物体A、B(m1m2)，滑轮质量为m,半径为R,在转动过程中受摩擦阻力矩为Mr,并设绳与滑轮之间无相对滑动,试求物体的加速度和绳的张力.解：受力分析如图(隔离体)ABc1m2m.coRrM1T2TA1T1ma1GB2T2ma2G四、定轴转动定律应用滑轮视为匀质圆盘的刚体221mRI绳质量忽略2211;TTTT且，否则滑轮将不转动21TT)1(:111amGTA)2(:222amTGB)3(:12JMrTRTCr)4(Ra.coRrM1T2TA1T1ma1GB2T2ma2G可解出：mmmRMgmmar21)(2112)(;)(2211agmTagmT一般方法：对质点应用牛顿第二定律,对刚体应用转动定律,并由角量与线量关系,列出几何补充方程.例:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为。令圆盘以0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？解:首先求摩擦力矩:取半径为r(rR)宽度为dr的环带质量元2Rmrrmd2d产生的阻力矩元mgrMrdd(方向均向下)rrd30232d2gRrgrMRr(注意：一般不是恒量)mgR32注意到阻力矩是负值，由刚体定轴转动定律tmRImgRdd21322rrmd2drrd0:;0:0tt是把质点力学的规律应用到组成刚体的质点系。质点→质点系→刚体研究对象：刚体——理想模型运动模式：刚体绕定轴的转动研究方法：IMmaFz小结：平动、转动的类比：;;;;;;;IIMmmvvF转动惯量—mrId2重点提示：要注意M,I,是对于同一根轴的力矩、转动惯量和角速度。