奥数——流水行船问题

行程问题——流水行船问题知识广角船在流水中航行的问题叫做行船问题。行船问题是行程问题中比较特殊的类型，它除了具备行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系，同时还涉及到水流的问题，因船在江、河里航行时，除了它本身的前进速度外，还会受到流水的顺推或逆阻。行船问题中常用的概念有：船速、水速、顺水速度和逆水速度。船在静水中航行的速度叫船速；江河水流动的速度叫水速；船从上游向下游顺水而行的速度叫顺水速度；船从下游往上游逆水而行的速度叫逆水速度。除了行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系在这里要反复用到外，行船问题还有几个基本公式要用到。顺水速度=船速速+水（1）逆水速度=船速-水速（2）公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2方法探究例1：船在静水中的速度为每小时13千米，水流的速度为每小时3千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港需要多少小时？【思路导航】求乙港返回甲港所需要的时间，实际还是要用甲、乙两港的全程除以返回时的速度，也就是说路程、速度和时间三者关系很重要，只是速度上要注意是顺水速度还是逆水速度。根据条件，用船在静水中的速度+水速=顺水速度，知道了顺水速度和顺水时间，可以求出甲乙两港之间的路程。因为返回时是逆水航行，用船在静水中的速度-水速=逆水速度，再用甲乙两港之间的全长除以逆水速度即可求出乙港返回甲港所需时间。解：顺水速度：13+3=16（千米/小时）逆水速度：13-3=10（千米/小时）全程：16×15=240（千米）返回所需时间：240÷10=20（千米/小时）答：从乙港返回甲港需要24小时。【举一反三】1、一只船在静水中每小时行12千米，在一段河中逆水航行4小时行了36千米。这条河水流的速度是多少千米？例2：一艘小船往返于一段长120千米的航道之间，上行时行了15小时，下行时行了12小时，求船在静水中航行的速度与水速各是多少？【思路导航】求船在静水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的时间就是逆行速度，路程除以下行时间就是顺水速度。顺水速度与逆水速度的和除以2就是船速，顺水速度与逆水速度的差除以2就是水速。解：逆水速度：120÷15=8（千米/小时）顺水速度：120÷12=10（千米/小时）船速：（10+8）÷2=9（千米/小时）水速：（10--8）÷2=1（千米/小时）答：船在静水中航行的速度是每小时9千米，水速是每小时1千米。【举一反三】2、甲、乙两港间的水路长180千米，一只船从甲港开往乙港，顺水6小时到达，从乙港返回到甲港，逆水10小时到达，求船在静水中的速度和水速。例3：甲、乙两港相距200千米。一艘轮船从甲港顺流而下10小时到达乙港，已知船速是水速的9倍。这艘轮船从乙港返回甲港用多少个小时？【思路导航】根据甲、乙两港的距离和从甲港到乙港的时间可以求出顺水速度是每小时200÷10=20（千米/小时），顺水速度是船速与水速的和，已知船速是水速的9倍，可以求出水速是20÷（1+9）=2（千米/小时），船速为2×9=18（千米/小时），逆水速度为18-2=16（千米/小时）解：顺水速度：200÷10=20（千米/小时）水速：20÷（1+9）=2（千米/小时）船速：2×9=18（千米/小时）逆水速度：18-2=16（千米/小时）返回时间：200÷16=12.5（小时）答：这艘轮船从乙港返回甲港用12.5个小时。【举一反三】3、A、B两个码头相距112千米，一艘船从B码头逆水而上，行了8小时到达A码头。已知船速是水速的15倍，这只船从A码头返回B码头需要几小时？例4：A、B两港间相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时。另有一艘机帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘机帆船往返两港要多少小时？【思路导航】这是两艘不同速度的船在两港间航行，虽然两船的速度不同，但两船行驶的路程是相同的、水速也是不变的，因此我们要根据一条船中给出的相关条件，求出共同需要的条件“水速”，此题就不难解决了。先根据和差问题的解题思路，分别求出顺行时间和逆行时间；再根据两港相距360千米和轮船的顺行时间、逆行时间求出轮船的顺行速度和逆行速度；求出了顺行速度和逆行速度就可以求出水流的速度；最后，根据两港相距360千米和机帆船的船速、水速可求出机帆船顺流航行和逆流航行的时间，两者相加的和即是所求的问题。解：顺行时间：（35-5）÷2=15（小时）逆行时间：35-15=20（小时）顺水速度：360÷15=24（千米/小时）逆水速度：360÷20=18（千米/小时）水速：（24-18）÷2=3（千米/小时）往返时间：360÷（12+3）+360÷（12-3）=64（小时）答：这艘机帆船往返两港要64小时。【举一反三】4、乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时，甲船顺水航行同一段水路，用了3小时，甲船返回原地比去时多用了几小时？知识广角下面继续研究两只船在河流中相遇问题车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。路程和=时间×速度和单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和。推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。结论：两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：车辆同向：路程差=速度差×时间，两船同向：路程差=船速差×时间推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果两船逆向追赶时，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。例5：甲、乙两只小船在静水中速度分别为每小时12千米和每小时16千米，两船同时从相距168千米的上、下游两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时乙船追上甲船？【思路导航】此题为水中相遇问题和追及问题，甲、乙两船一个顺流，一个逆流，那么它们的速度和为甲、乙两只小船在静水中速度的和，而水中的追击问题不论两船同向逆流而上还是顺流而下速度差均为甲、乙两只小船在静水中速度的差，因此用路程和÷速度和=相遇时间，路程差÷速度差=追及时间解：相遇时间：168÷（12+16）=6（小时）追及时间：168÷（16-12）=42（小时）答：6小时相遇；42小时乙船追上甲船。【举一反三】5、A、B两船的速度分别是每小时20千米和16千米，两船先后从同一个港口开出，B比A早出发两小时，若水速每小时4千米，A开出后多少小时追上B？（考虑不同情况哟）例6：一艘轮船从上游的甲港到下游的乙港，两港间的水路长72千米。已知这艘船顺水4小时能行48千米，逆水6小时能行48千米。开船时，一个小朋友放了个木制玩具在水里，船到乙港时玩具离乙港还有多少千米？【思路导航】当运动物体不止一个时，分析物体的运动方向及运动结果，以确定将速度相加或相减，这是正确解答行程问题的首要前提。本例题中，玩具本身并无动力，落入水中后，水的速度就是玩具的速度，明确这一点非常重要。由于轮船此时是顺水航行，玩具是顺流而下，轮船与玩具同向而行，这时轮船与玩具每小时相距的是一个速度差。根据条件，先求出轮船的顺水速度和逆水速度，然后很容易求出船速和水速，此时的水速也就是玩具运动的速度，轮船和玩具都是顺流而下，它们每小时相距一个速度差，再用全长72千米除以轮船的顺行速度，得出轮船的顺行时间，用顺行时间乘以速度差即可。解：顺水速度：48÷4=12（千米/小时）逆水速度：48÷6=8（千米/小时）船速：（12+8）÷2=10（千米/小时）水速：（12-8）÷2=2（千米/小时）船到甲港的时间：72÷（10+2）=6（小时）玩具离乙港的距离：6×（10+2-2）=60（千米）答：船到乙港时玩具离乙港还有60千米。【举一反三】6、小林坐在一只手划船逆流而上，不知何时他的水壶掉进了水里，水壶顺流而下，经过30分钟小林才发现水壶丢失，他立即掉头回去寻找，结果在丢失地点下游6千米的地方找到水壶，小林返回寻找用了多长时间？水流速度是多少？课后作业1、一艘轮船在静水中航行，每小时行15千米，水流的速度为每小时3千米。这艘轮船顺水航行270千米到达目的地，用了几个小时？如果按原航道返回，需要几小时？2、一艘轮船从A地顺流而下开往B地，每小时行28千米，返回A地时用了6小时。已知水速是每小时4千米，A、B两地相距多少千米？3、一条大河，河中内（主航道）水的流速为每小时8千米，沿岸边的速度为每小时6千米，一条船在河中间顺流而下，13小时行520千米，求这条船沿岸边返回原地，需要多少小时？4、甲、乙两港相距90千米，一艘轮船顺流而下要6小时，逆流而上要10小时；一艘汽艇顺流而下要5小时，如果汽艇逆流而上需要几小时？5、一条河上游的甲港和下游的乙港相距160千米，A、B两船分别从甲港和乙港同时出发，相向而行，经过8小时相遇，这时A船比B船多航行64千米，已知水速每小时2千米，求A、B两船的静水速度。6、一条河上有相距90千米的上、下两个码头，甲、乙两船在静水中的速度相同，分别从两地相对开出，甲船从上游出发时，抛下一物，此物浮于水面顺流漂下，一分钟后与甲船相距0.5千米，问乙船出发后几小时能与此物相遇？7、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？8、一艘货轮从甲港到乙港顺流而下要8小时，返回是每小时比顺水少行9千米，已知甲乙两港相距216千米，返回时比去时多行几小时？水流的速度是每小时多少千米？9、一架飞机所带的燃料最多可以用7小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1600千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多飞出多少千米就需往回飞？10、甲乙两港相距90千米，一艘轮船顺流而下要6小时，逆水而上需要10小时，如果一艘汽艇顺流而下要5小时，那么这艘汽艇逆流而上需要几小时？