哈工大研究生课程-高等结构动力学-第二章1

第2章单自由度系统的振动自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。一.运动方程及其解0)()(2txtxn二阶线性齐次常微分方程0mxkxmkn2§2.1单自由度系统的自由振动其通解为tctctxnnsincos)(21由初始条件0)0(xx0)0(xx可得01xcnxc/02txtxtxnnnsincos)(00令sin0Axcos/0Axn)sin()(tAtxn其中22020nxxA00tanxxn二.振动分析单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.)2(])2(sin[)2sin()sin()(nnnnntxtAtAtAtxnT2自振周期21Tn自振圆频率(自振频率)与外界无关,体系本身固有的特性A振幅初相位角mkTf211固有频率(HZ)其通解为tctctxnnsincos)(21由初始条件0)0(xx0)0(xx可得01xcnxc/02txtxtxnnnsincos)(00令sin0Axcos/0Axn)sin()(tAtxn其中22020nxxA00tanxxn假设分析位移、速度和加速度之间的关系0tAtxnsin)()2sin()(tAtxntAtxnnsin)(21.速度的相位比位移超前，加速度的相位比速度超前222.max)(0)(,0)(txtxtx时得3.加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，即始终指向平衡位置§2.2固有圆频率和周期的计算1.计算方法(1)利用计算公式mkn2(2)利用机械能守恒常数)()(tUtT)(cos21)(21)(2222tmAtxmtTnn)(sin21)(21)(222tAktkxtUnmaxmaxUT(3)利用振动规律)sin()(tAtxn)sin()(2tAtxnn)sin()()(2tmAtxmtInn位移与惯性力同频同步.2nmAAk1kmEIl)(tx2nmAA幅值方程mkn2例一.求图示体系的自振频率和周期.31127nEImml11211()23222lllllllllEIEImlTn127223mEIlEIl=1=1ll/2l解:EIl3127§2.2固有圆频率和周期的计算23lEI例二.质点重W,求体系的频率和周期.3113lEIkk解:EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIkn33并联时弹簧的等效刚度在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式，分别如图（a）和（b）所示。弹性元件的组合)(1211xxkFs)(1222xxkFs)()()(1212212121xxkxxkxxkFFFeqsss所以等效弹簧刚度为§2.2固有圆频率和周期的计算1neqiikk串联时弹簧的等效刚度在图（b）所示的串联情况下，可以得到如下关系)(101xxkFs)(022xxkFs将x0消掉，可得)(12xxkFeqs12111kkkeq如果有n个弹簧串联时，可以证明有以下结论§2.2固有圆频率和周期的计算111neqiikk例三如图所示，一个半径为R的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动为简谐振动，计算振子的固有频率。§2.2固有圆频率和周期的计算ccIM（a）分析:本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。设壳体倾斜角为θ（如图2-6），设c为壳体与粗糙表面的接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕c点作转动。对c点取矩，可得系统的运动微分方程。解：§2.2固有圆频率和周期的计算2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR（b）其中，IC为绕点C的转动惯量，MC为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对于给定的θ，对C点的恢复力矩MC有如下形式：ccIM（a）§2.2固有圆频率和周期的计算2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR（b）2222322sin(1cos)21cos2(2cos)cIRRdmRdR（c）壳体对C点的转动惯量为:其中，dw是给定角φ位置的微元体重量，ρ是壳体单位面积的质量。§2.2固有圆频率和周期的计算当壳体作小幅振动时，即θ很小时，引入近似表达式sinθ≈θ，cosθ≈1，并将（b）、（c）两式代入（a）中，得到:32222RgR（d）02gR（e）2ngR（f）整理可得:（e）式表明，当θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其自然频率为:ccIM（a）§2.2固有圆频率和周期的计算例四.求图示体系的自振频率和周期.222222max29)2(21)(21)2(21nnnnmllmlmlmT解:mkn95mlmEImlllkk)(t1.能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT2.列幅值方程ml22ml22ml2lklk2A0AM0222222222lklllmlmllkllmlnn059222klmlnmkn95阻尼元件通常称为阻尼器，一般也假设为无质量。常见的阻尼模型三种形式:(a)(b)c0斜率cdF1x2xdF12xxdF由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。2.1单自由度系统的自由振动§2.3有阻尼单自由度体系自由振动在本书中，如无特别说明，所说的阻尼均指粘滞阻尼，其阻尼力Fd与阻尼器两端的相对速度成正比，比例系数c称为粘性阻尼系数，它的单位为牛顿-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用c表示。2.1单自由度系统的自由振动(a)(b)c0斜率cdF1x2xdF12xxdF§2.3有阻尼单自由度体系自由振动§2.3有阻尼单自由度体系自由振动§1.6自由振动方程的通解0xkxcxm上式可改为220nnxxx式中mkC2mkn阻尼比固有频率2()02ckxxxmm阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。由此可得特征方程：s2+2ns+n2=0。根据判别式有三种可能情况：由常系数常微分方程理论可设stex1)1，特征方程有两个实根，称作过阻尼情况。这时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。2)=1，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体系也不发生振荡，这时阻尼系数为，称作临界阻尼系数。§2.3有阻尼单自由度体系自由振动ns)1(22,1式中由此可得3)1，特征方程有一对共轭复根，称作欠阻尼情况。此时crCC)sincos(21tCtCexddt积分常数C1、C2由初始位移、速度确定，可得dnxxCxC00201;21nd有阻尼频率§2.3有阻尼单自由度体系自由振动ncrmmkC22njs)1(22,1不同阻尼比下的响应SDT1_1(z,w,x0,v0,tf)也输出单自由度系统有阻尼自由振动的自由响应曲线（二者输入参数不同）；z,w是系统的阻尼比和固有频率（rad/s）；x0和v0初始条件，tf是响应时间；应用举例2：z=0.02,w=2,x0=1,v0=0,tf=100可见有阻尼自由振动的解答是按指数规律衰减的简谐运动。衰减的速度随、n增大而加快。如果记振幅为A，初相位为，也即则运动方程解答也可写为)sin(tAexdtn20020)(dnxxxA000tgxxxarcnd§1.6有阻尼单自由度体系自由振动it1itDTt)(tyiA1iA§2.3有阻尼单自由度体系自由振动2.振动分析)sin()(ddttAety21ndddT2周期延长计算频率和周期可不计阻尼振动是衰减的dndininTTttiieAeAeAA)(1dniiTAA1ln对数衰减率22dn1ln21iiAA利用此式,通过实验可确定体系的阻尼比.上式也可写成niiAAnln21例五对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少2cmkN4.16解:1.阻尼比0276.012ln4212.刚度系数)/(102.802.0104.1653mNk5.阻尼系数)s/mN(36012nmc6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少)s/1(89.1368005190102.8252n)s/1(70.11n)s(537.0/2nT0257.02/nmc3.无阻尼周期)s(5.04/2dT)s(4998.012dTT4.重量)s/1(57.122Tn)kg(5190/2nkm)kN(86.50mgW◇结构阻尼比的一种确定方法设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭），由试验获得了阻尼振动的记录由此可量测得t时刻和n周后的振幅（一般测峰值位移，记T为有阻尼周期）分别为ut和ut+nT。记ut/ut+nT的自然对数为（称为对数衰减率），由阻尼振动解答可得212nn由于1，由此可得1ln(1)22iinAnnnA一般钢混结构0.05，钢结构(0.02~0.03)。§2.3有阻尼单自由度体系自由振动◇无阻尼自由振动的进一步说明结构固有频率n和阻尼频率d严格说不相等，阻尼使d减少，从而使周期Td增长。由于结构阻尼很小，因此可近似认为阻尼频率、周期与无阻尼的相等。结构固有频率有如下各种等价的计算公式maxmax1nstUkgmmT改变系统质量或刚度可改变固有频率。不管具体结构如何，在同样干扰下相同频率结构的反应相同。§2.3有阻尼单自由度体系自由振动作业:92页2-3.2-62-102-22