第五章 流体动力学微分形式基本方程

流体力学顾伯勤主编研究生教材退出中国科学文化出版社第二篇流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论流体绕过物体的流动气体动力学基础第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第五章流体动力学微分形式基本方程连续性方程理想流体运动方程实际流体运动方程第一节第二节第三节退出返回流体运动须遵循物质运动的某些普遍规律，如质量、动量和能量守恒定律。这些普遍规律应用于流体运动就可得到联系流体速度、密度、压力、温度等参数之间的关系式，这些关系式称为流体动力学的基本方程。基本方程可以对微元体建立，得到微分形式的基本方程；也可以对控制体建立，通过对控制体和控制面的积分而得到流体参数间的积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控制体建立的积分形式的基本方程，可以给出流场细节，即空间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数的分布。本章讨论微分形式的基本方程。第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第1页第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第2页zyxxwwxxddd)(图5.1正六面体流体微团xzydydxdzwxdydzo在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。一、笛卡儿坐标系统的连续性方程在流场中取一六面体微团，其边长为xd，yd，zd（图5.1）。沿方向在单位时间x内流入六面体的流体质量为zywxdd沿x方向在单位时间内流出六面体的流体zyxxwwxxddd沿x方向在单位时间内净流出质量为六面体的流体质量为zyxxwxddd第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第3页同理可得：沿y方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为zyxywyddd沿z方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为zyxzwzddd单位时间内净流出整个六面体的流体质量为zyxzwywxwzyxddd另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在t时刻流体密度为时刻流体密度为，则在单位时间内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为，ttdttdzyxtddd第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第4页根据连续流动原理，净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之和为零，六面体中流体的质量是不变的，即0zwywxwtzyx式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到zwywxwttzyxdd（5.1）则连续性方程也可写成0dd1zwywxwtzyx写成向量形式0DDwt（5.3）0)(wt（5.3a）或（5.2）第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第5页对于稳定流动，0t，于是式（5.1）变为0zwywxwzyx即0w（5.4a）（5.4）对于不可压缩流体，为常数，则连续性方程为0zwywxwzyx（5.5）0w（5.5a）即第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第6页rrwwrrdo图5.2扇形六面体流体微团zArBdrDCdzdr二、圆柱坐标系统的连续性方程rw在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流体微团ABCD，如图5.2所示。单位时间内流入AB、BC、CA面的流体质量分别为zrwrdd，zrwdd，rrwzdd单位时间内流出CD、DA、BD面的流体质量分别为zrrrrwwrrdddd，zrwwddd，rrzzwwzzddd第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第7页单位时间内，微团中净流出的流体质量为zrzwrwrwrwzrrddd由于微团中流体密度增加而使微团中增加的流体质量为zrrtddd根据连续性原理，微团中流体质量的总变化应等于零，所以01zwwrrwrwtzrr此即圆柱坐标系统的连续性方程。（5.6）对于不可压缩流体，为常数，连续性方程为01zwwrrwrwzrr（5.7）第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第二节理想流体运动方程第1页zyxxppddd图5.3流体微团在x方向所受的力xzydydxdzpdydzXo运动方程描述流体在运动中所受的力与流动参量之间的关系。理想流体是指无粘性的流体。工程实践中的流体都是具有粘性的，它们并不是理想的流体，但在很多情况下，流体的粘性力和其他力比起来作用很小，因而可视为理想流体。一、理想流体运动方程的建立建立运动方程的基础是牛顿第二运动定律。在理想流体流场中取出一微小六面体微团。微团所受的力有表面力（压力）和体积力（质量力）。六面体在轴方向上所受的表面力和单位质量的体积力如图5.3所示。设单位质量的体积力为X、Y、Z，则在xx轴方向根据牛顿第二运动定律应有第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第2页twzyxzyxXzyxxppzypxddddddddddddd化简得twxpXxdd1y、z轴方向力的平衡关系式，于是有同理可推导得到twxpXxdd1twypYydd1（5.8）twzpZzdd1第二节理想流体运动方程第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第3页tpDD1wF式中，kjiFZYX称为单位质量的体积力矢量。（5.8a）（5.8）式就是理想流体的运动方程，它是欧拉于1755年提出的，故又称欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力的关系。对于给定的流体（密度已知，或者已知压力与密度的关系，例如气体方程），在已知体积力场（即X、Y、Z已知）内，根据此式和连续性方程进行积分，可解出任意时刻t，流场中任意位置（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是实际对该式进行解析计算是有困难的，往往需要给定限制条件。最简单的限制条件是讨论沿流线的运动和无旋流场。这两种情况都是有现实意义的，后面将详细讨论。第二节理想流体运动方程第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第4页欧拉方程在圆柱坐标系统中的形式，可以用上述同样的方法得到，在流场中取微小扇形六面体微团，然后根据牛顿第二运动定律列出微团的力的平衡方程，从而得到该坐标系统的欧拉运动方程，具体形式如下rpFrwz12rpFrwwz（5.9）zpFz1式中rF、F、zF分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。第二节理想流体运动方程、p、T，除了用欧拉方程和连续性方程外，还要增加状态方程和能量方程来求解。求解理想流体运动问题主要依靠欧拉方程和连续性方程。方程是普遍的，但各个问题的初始条件和边界条件不同，因此对各个具体问题应作具体分析。初始条件是指流体运动开始瞬时所对应的条件。在理想流体力学问题中，所要求的是第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第5页二、理想流体运动方程的求解对不可压缩流体的流动，未知量为p、xw、yw、zw连续性方程就能求解。对可压缩流体的流动，其未知量有xw、yw、zw、xw、yw、zw、、p、T，因此，在时，这些物理量0tt),,(),,,(10zyxftzyxwx，故欧拉方程加上的数值应是给出的，即),,(),,,(20zyxftzyxwy第二节理想流体运动方程第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第6页),,(),,,(30zyxftzyxwz),,(),,,(40zyxftzyxp),,(),,,(50zyxftzyx),,(),,,(60zyxftzyxT其中，f1至f6是给定的函数。对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条件。边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于流体不能穿过这种壁面，同时流体与边界壁面间不会形成空隙，则紧贴边界壁面的那层流体沿壁面法线方向的流体速度分量为零，即，而其切向分量不为零。对移动的固体壁面，该层流体速度的法向分量必须等于固体边界壁面上相应点的速度的法向分量，即0nwWnFnww又如根据作用力和反作用力相等的定律，流体作用于边界壁面或自由面上外界介质流体质点的力，等于边界壁面或外界介质作用于该流体上的力，即WFFF第二节理想流体运动方程第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第7页例题5.1有一稳定流场，其速度分布为kjiwAzAyAx2，1s0.1A试证明它是不可压缩流动。又假定质量力为重力，z轴垂直向上，3kg/m1000，长度单位为m，试计算点M（2，2，5）处的压力梯度。。解：连续性方程和运动方程分别为0)(wttpDD1wF对不可压缩流动连续性方程变为0w将速度分布代入上式得到02AAA因此，该流动为不可压缩流动。第二节理想流体运动方程第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第8页由于质量力为重力，则运动方程为tpgDD1wktgpDDwkkjigzAyAxA2224将给定的A，x，y，z代入，得到3kN/m8.2922kjip第二节理想流体运动方程第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第三节实际流体运动方程第1页一、实际流体运动方程的建立欧拉方程是属于理想流体的运动方程，理想流体是没有粘性的。实际流体具有粘性，因此作用在流体微团上的力将更加复杂。现仍取流场中边长为的微团六面体来分析（图5.4）。由于流体具有粘性，因而，作用在每个正方形面上的力，除去法向力外还有切向力（剪切力）。而法向力也和理想流体情况不同，它不只是流体的表面力（压力），而且还有由于剪切变形引起的附加的法线方向的力。用表示法向应力，用表示切向应力。则所有作用在微团上沿x轴方向的表面力的合力为xd、yd、zdzxyyzyxxPyxyxyxxxxxxxxddddddyxzzzxzxzxdddyzxzyxzxyxxxdddx轴方向的质量力为zyxXFxdddo图5.4微元体上的应力分布xzydydxdzxxxzxyyxyzyyzxzzzyxxxxxxdxxxyxydxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdyyyyyydzzzzzzdzzzyzydzzzxzxd退出返回第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第2页第三节实际流体运动方程根据牛顿第二运动定律列出x轴方向力的平衡式如下zyxtwFPxxxddddd即twzyxzyxXzyxzyxxzxyxxxddddddddddd同样可得到沿y和z轴方向力的平衡关系式，经化简得到twzyxXxzxyxxxddtwxzyYyxyzyyydd