能控性与能观测性(2011)

线性控制系统的能控性与能观测性讲解人：彭晓涛1.线性定常系统的能控性及其判据2.线性定常系统的能观测性及其判据3.离散系统的能控性和能观测性4.能控性与能观测性的对偶关系5.能控和能观测标准型6.能控性和能观测性与零极点的关系主要内容能控性和能观测性的基本概念20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。输入能够控制状态（控制问题）能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。状态能否由输出反映（估计问题）1.线性定常系统的能控性指外输入u(t)对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。受u(t)控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制的状态称不能控状态。例：系统的结构图如下1x2x1s1s23yu显然，只能控制而不能影响，我们称状态变量是可控的，而是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。u1x2x1x2x+L例:取和作为状态变量,u—输入,y=－输出.Licucu-uLi1R3R2R4R(1)当3241RRRR状态可控(2)当3241RRRRu只能控制，状态不可控．0cuLicu1.1能控性定义如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到任一终端状态，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。],[0ftt)(0tx)(ftx几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：1系统的状态能控性：（常用）初始状态为状态空间任意非零有限点；终端状态为状态空间原点，即零态。如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到零态，则称系统是状态能控的。],[0ftt)(0tx0)(ftx2系统的状态能达性：初始状态为状态空间原点，即零态；终端状态为状态空间任意非零有限点。如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统从零态转移到任意非零状态，则称系统是状态能达的。],[0ftt0)(0tx)(ftx1.2能控性判据约当标准型判据秩判据状态方程为：，则系统状态完全能控的充要条件为：Ｂ中没有任意一行的元素全为零。1)具有约当标准型的系统的特征根为单根xAxBu1.约当标准型判据2）具有约当标准型的系统的特征根有重根状态方程为：，则系统状态完全能控的充要条件为：Ｂ阵中，对应于每一个约当块的最后一行元素不全为零。xAxBu中，不包含元素全为0的行。B2具有一般形式的系统系统的线性变换不改变系统的能控性。1）设线性系统具有两两相异的特征值则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：BuAxxn,...,,21uBxxn0021uxxxxxx7521000500073213211）[例]：考察以下系统的能控性：uxxxxxx570410100050007321321状态完全能控3）状态完全能控uxxxxxx902100050007321321状态不完全能控X2状态不能控2）中，阵中与每个约当小块最后一行所对应的元素不全为零。2）设线性系统具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：BuAxxuBxJJJxk~~00~21B~),...,2,1(kiJi推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。42412221bbbb如果行线性无关，则状态能控含义：ubbbbbbbbxxxxx424132312221121143211111010001对于：uxxxxxxxx010000200101101100401443214321状态完全能控状态完全能控uxxxxxx340200040014321321[例]：考察如下系统的状态能控性：推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系统状态必不能控。uxxxxxxxx231000321101401400401443214321状态完全能控uxxxxxxxx963000321101401400401443214321状态不完全能控uxxxxxx030024200040014321321状态不完全能控X2状态不能控2.秩判据对于线性连续定常系统：状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：BuAxx][M12BABAABBnnBABAABBrankrankn][M12满秩即：TrankrankMMM[说明]：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：2.秩判据对于线性连续定常系统：状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：BuAxx][M12BABAABBnnBABAABBrankrankn][M12满秩即：[证明]：证明目标：对系统的任意的初始状态，能否找到输入u(t)，使之在的有限时间内转移到零。则系统状态能控。],[0ftt)(0tx0)(ftxttdButtxtttx0)()()()()(00已知：线性定常非齐次状态方程的解为：fttdButtx0)()()(00（2）由（1）式得：0)()()()()(000fttfffdButtxtttx将代入上式：ftt（1）10)()(njjjtAAtae由凯利－哈密顿定理有：100)(0)()(0njjjtAAtaet（3）fffffttnnttttttjnjjttnjjjdutaBAdutaABdutaBdutaBAdBuAtatx00000)()()()()()()()()()()(01101000101000（4）将（3）式代入（2）式得：1,1,0,)()(00njdutaUfttjj（5）令：（6）将（5）式代入（4）式得：UUUUBAABBBUAABUBUtxTTTTnnnnM)()(110111100由以上可以看出式（6）中各参数维数如下：维向量为维为维向量为维为维为维向量为1nr,1rnrnM,rn,rn1n)(0UUABBtxjTrankrankMMM[说明]：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：式（6）是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：)(M)M(0txrankrank由于x(t0)任意，所以，必须有：nrank)M([证毕]uxxxxxx102101110221321321[例]判别如下系统的能控性500114101110221114102101110221,1022BAABB[解]：1）构造能控性判别矩阵：故系统的状态完全可控3511010042Mrankrank2）求能控性判别矩阵的秩：21321321111112310020231uuxxxxxx[例]判别如下线性连续定常系统的能控性[解]：故系统状态不完全能控。32000424249494959424249424249494959442211442211452312442211442211452312]))([(MMM11rankrankrankBAABBBAABBrankrankrankTTnnT指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。2能观测性及其判据有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)确定下来的状态称为不能观状态。举例系统结构图如下uy1x1x2x2x1s1s32显然输出中只有，而无，所以从中不能确定，只能确定。我们称是可观测的，是不可观测的。y2x1x1x2x1x2xy+L例:取和作为状态变量,u—输入,y=--输出.Licucu-uLi1R3R2R4R(1)当3241RRRR状态可观测(2)当3241RRRRu只能控制，状态不可观测．0cuLicu2.1能观测性定义如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间，使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。],[0ftt)(0tx0ttf)(ty)(0tx2.2能观测性判据前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性1约当标准型判据（1）线性系统具有两两相异的特征值则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：CxyAxx,n,...,,21中，不包含元素全为0的列。xCyxxn,0021C不能观测状态不完全能观测154010507xxyxx状态完全能观测xyxx13002310507[例]：考察如下系统的能观测性：中，阵中与每个约当小块首列所对应的列，其元素不全为零。（2）设线性系统具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：xCyxJJJxk~,~00~21C~),...,2,1(kiJiCxyAxx,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统