2.2.3-独立重复试验与二项分布

1[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用2.2.3独立重复试验与二项分布2[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用复习引入前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.⑴()()()PABPAPB（当AB与互斥时）；⑵()(|)()PABPBAPA⑶()()()PABPAPB（当AB与相互独立时）3[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。⑵某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。⑶某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。⑷口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。共同特点是:多次重复地做同一个试验.引例4[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”显然，12()nPAAA=∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响,∴上面等式成立.12()()()nPAPAPA1、n次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.基本概念独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。5[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用表示第i次掷得针尖向上的事件，用表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则(1,2,3)iAi1B1123123123()()().BAAAAAAAAA由于事件彼此互斥，由概率加法公式得123123123,AAAAAAAAA和1123123123()()()()PBPAAAPAAAPAAA22223qpqpqpqp所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是23.qp6[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用思考？上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？(03)kk33(),0,1,2,3.kkkkPBCpqk仔细观察上述等式，可以发现30123()(),PBPAAAq21123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp22123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp33123()().PBPAAAp7[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用基本概念2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1),0,1,2,...,.kknknPXkCppkn此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。注:展开式中的第项.()()kknknnPXkcpqpq是1kX01…k…np……随机变量X的概率分布列为：0(1p)nnC111(1)nnCpp(1)kknknCppnnnCp8[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p2．一个袋中放有M个红球，(NM)个白球，依次从袋中取n个球，记下红球的个数.⑴如果是有放回地取，则(,)MBnN⑵如果是不放回地取,则服从超几何分布.()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPkkmC(其中min(,)mMn9[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用练习已知一个射手每次击中目标的概率为，求他在3次射击中下列事件发生的概率。（1）命中一次；（2）恰在第三次命中目标；（3）命中两次；（4）刚好在第二、第三两次击中目标。35p1233336155125()C3331211555125()()2233354155125C()333181555125()10[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用课堂练习1、每次试验的成功率为P（0＜P＜1）,重复进行10次试验，其中前七次未成功后三次成功的概率（）C377333310733101.1.1.1.PPDPPCPPCBPPCA2、在某一试验中,A出现的概率为P，则在n次试验中出现k次的概率为AknkknPPCP13、100件产品中有3件不合格，有放回地连续抽取10次，每次一件，10件产品中恰有2件不合格的概率为8221003.0103.0CP4、某人投篮的命中率为2/3，他连续投5次，则至多投中4次的概率为555321C11[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用(五)提炼方法反思小结本节课我们从实际出发,构建了二项分布这一重要的概率模型,又应用这一模型,解决了一些简单的实际问题------独立重复试验概率问题.应用程序如下:1.若一次试验中事件A发生的概率为p2.在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，则3.事件A恰好发生K次的概率为:()(1),0,1,2,,kknknPXkCppkn),(~pnBX12[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用.25431.35.1的概率）求按比赛规则甲获胜（局才取胜的概率；局、局、）试分别求甲打完（胜制局规定参加乒乓球团队比赛，实力相当的甲、乙两队例题812131333）（：局就取得胜利的概率为）甲打完解：（C1632121214223）（：局就取得胜利的概率为甲打完C.特别注意是不合题意的，这点要、、而顺序为：；、、；、、；、、；、、局顺序可以是：表示甲取胜的这里的，）（地写为：局就取胜的概率易错误甲打完32143243142132132121434334CC16321212152224)(C）（：局就取得胜利的概率为甲打完.21163316812P的概率）求按比赛规则甲获胜（13[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用例2、某所气象预报站的预报准确率为80％，试计算（保留两位有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率。解：这个问题为一个5次独立重复试验，其中“预报1次，结果准确”为事件A，p=0.8，1-p=0.2。knkknnP)(1PC(k)P（1）5次预报中4次准确的概率为：（2）5次预报中至少有4次准确的概率为：)4(5P2.08.0445C41.0)5()4(55PP5554458.02.08.0CC328.0410.074.014[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用例3：某城市的发电厂有5台发电机组，每台机组在一个季度里停机维修率为1/4，已知3台以上机组停机维修，将造成城市缺电。计算：①该城市在一个季度里停电的概率；②该城市在一个季度里缺电的概率。①解：该城市停电必须是5台机组都停电维修，所以停电的概率是1024141141505555CP②解：当3台或4台或5台机组停电维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率是)5(43555PPP055514452335)41()41(4114141141CCC102410515[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用课堂练习：1.某机器正常工作的概率是,5天内有4天正常工作的概率是()545154.4A45154.B5154.445CC4455154.CD2.在4次独立重复试验中,若已知事件A至少发生一次的概率是8165则事件A在一次试验中发生的概率是31C3.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5（相互独立），求：（1）至少3人同时上网的概率（2）至少几人同时上网的概率是小于0.3?16[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用例4:一个学生每天骑车上学,从他家道学校要经过4个交通岗,假设他在每个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是1/3.(1)设X为该学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列.分析:(1)“该生过每个交通岗”是相互独立事件，故X～B(4,1/3)P(X=k)=44120,1,2,3,433kkkCkX的分布列为：X01234p16/8132/8124/818/811/8117[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用(2)该学生在途中至少遇到一次红灯的概率。分析:(2)该学生在途中至少遇到一次红灯的事件为{X≥1}所以所求概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=4213658118[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用(3)设Y为该学生在首次停车前经过的路口次数,求Y的分布列.(若没有停车,认为Y=4)分析:(3)Y=0时,该生第一个路口就遇到红灯;Y=1时,该生第一个路口遇到绿灯,并且第二个路口遇到红灯.依次递推.所以P(Y=k)=1233k0,1,2,3.kP(Y=4)=423Y的分布列为Y01234P1/32/94/278/8116/8119[普通高中课程数学选修2-3]2.2二项分布及其应用解题回顾:第三小题应该按独立事件同时发生的概率来计算.第一小题是独立重复试验,求的是二项分布;