精选平面向量压轴填空题

11.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则BCAP＝_____________【答案】27解析：27)(21)()()()(ACABABACAQABACQPAQABACAPBC2.已知0,3,1OBOAOBOA，点C在AOB内，AOC30o.设(,)OCmOAnOBmnR，则mn等于【答案】3[解析]：法一：建立坐标系，设),(yxC则由(,)OCmOAnOBmnR得nymxnmyx3)3,0()0,1(),(而030AOC故nmxy330tan0法二：(,)OCmOAnOBmnR两边同乘OA或OB得nOCnOBOCmOCmOAOC3321323两式相除得3nm3.在△ABC中，若4CBABACAB，则边AB的长等于22ABOCABCPQ2解析：4CBABACAB88)(2ABCBACAB4.已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若,APABAC则的取值范围是___________)1,32(解析：''32GPAGGPAGAP)()(31GCnGBmtACAB(其中1,10nmt)=)](31)(31[)(31BCACnCBABmtACAB=ACntABmt)1(31)1(31，则)1,32(3132t5.已知O为ABC所在平面内一点，满足22OABC22OBCA22OCAB，则点O是ABC的心垂心解析：22OABC22OBCA0))(())((CABCCABCOBOAOBOA02OCBA，可知ABOC，其余同理6.设点O是△ABC的外心，AB＝c，AC＝b，1122cb则→BC·→AO的取值范围2,41-ABCGPG’P’3解析：1122cb222bbc200b)(2122coscos)(22cbRccRRbbRcRbRAOABACAOBC41)21(22bbb2,41-7.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，33CA，若2AFACAEAB，则EF与BC的夹角的余弦值等于_____32解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2AFACAEAB，所以2)()(BFABACBEABAB，即22BFACABACBEABAB。因为12AB，1133236133133ABAC，BFBE，所以21)(1ABACBF，即2BCBF。设EF与BC的夹角为θ，则有2cos||||θBCBF，即3cosθ=2，所以32cosθ8.已知向量,,满足||1,||||,()()0.若对每一确定的,||的最大值和最小值分别为,mn,则对任意,mn的最小值是21解析：数形结合.AB,AC,BC,,ADBDCDBDCD,，点D在以BC为直径的圆上运动，mn就是BC，而21121,BCBCABBCAC（CBA,,共线时取等号）和9题相同.9.已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c)(b-c)=0，若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对于任意的向量b，m+n的最小值为_________．23ABCDABCO4OABC解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见810.设21,ee是夹角为060的两个单位向量，已知21,eONeOM，ONyOMxOP，若PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则实数yx取值的集合为_____________{1}解析：画图解即可11.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点DA,分别在x轴，y轴上正半轴上滑动，则OCOB的最大值为________2解析：12sin))((DCODABOA12.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为0120。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OByOAxOC，其中Ryx,，则yx的最大值是___2解析：13)(2222222xyyxxyyxOBOAxyyxOC22)2(3131)(yxxyyx【研究】如果要得到yx,满足的准确条件，则建系，)23,21(),0,1(OBOA则)23,21(yyxOC，则满足11)23()21(222xyyxyyx，且0,2121yyx【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OByOAxOC，其中x、yR，则22)1(yx的最大值为2解析：建系，利用坐标法是可以得到yx,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(OBOA),(yxOC，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，故满足)0,0(122yxyxOABCDxy513.在平行四边形中，ABCD已知60DAB1,AD2,AB，点ABM为的中点，点P在CDBC与上运动（包括端点），则DMAP的取值范围是]1,21[解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P在BC上时，BPABAP，则]1,21[211BPDMBPDMABDMAP；同理，当P在CD上时，]21,21[2121DMDMAP14.在周长为16的PMN中，6MN，则PMPN的取值范围是716，解析：PMPNabbaabcbaabab322362cos22222，因10ba，故25)2(2baab，PMPN732ab，或者用消元的方法25)5()10(2aaaab25，当5ba时取等号，故PMPN732ab；同时86106aaba，当8a时16ab，故16ab，PMPN1632ab另法：本题可以得出P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P坐标来解决15.已知||4,||6,,OAOBOCxOAyOB且21xy，AOB是钝角，若()||ftOAtOB的最小值为23，则||OC的最小值是611137解析：',,'BACOByOAxOC共线，用几何图形解）()||ftOAtOB的最小值为23根据几何意义即为A到OB的距离，易得0120AOB，要使||OC最小，则'ABOC，利用面积法可求得16.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量ACDEAP，则的最小值为12解析：坐标法解，)sin,(cos),1,21(),1,1(APDEAC由ACDEAP得sincos23sincos2cos2sin21sin1cos21，OBB’AC3261sincos2sin13sincos23cos2sin2，令]2,0[,sincos2sin1)(f，0)sincos2(cossin22)('2f，故)(f最小值为21)0(f，最小值为2117.已知P为边长为1的等边ABC所在平面内一点，且满足CACBCP2，则PBPA=________3解析：如图CACBCP2CABP2，PBPA=3120cos214)(02PBBAPBPBBAPB18.已知向量M={aa=(1,2)+(3,4)R}，N={aa=(-2,2)+(4,5)R}，则MN=________)62,46(解析：15'5242'423119.等腰直角三角形ABC中，90A，2AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点MN、分别为AB边和AC边上的点，且MN、关于直线AD对称，当12PMPN时，AMMB______3解析：))((ANPAAMPAPNPM20.如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1,则CACDCACE的最大值是227解析：CACDCACE272cossin21cossin21cos2142232AAAACAACACD21.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足错误!未找到引用源。错误!未找到引PABCCADEB7用源。,则P的轨迹一定通过错误!未找到引用源。的______________重心解析：设重心为G，CDCBCAGPOCOBOAOGOP32)(3)2(3CG，故PGC,,三点共线22.已知点O为ABC的外心，且2,4ABAC,则BCAO6解析：61224cos2cos4)(RRRRBAORCAORABACAOBCAO23.设D是ABC边BC延长线上一点，记ACABAD)1(，若关于x的方程01sin)1(sin22xx在)2,0[上恰有两解，则实数的取值范围是____4或122解析：令xtsin则01)1(22tt在)1,1(上恰有一解，数形结合知0)1()1(ff4或2，或者1220又ACABAD)1(CBCD0所以4或12224.O是锐角ABC所在平面内的一定点,动点P满足:OPOA2ABABSinABC2ACACSinACB,0,,则动点P的轨迹一定通过ABC的______心内心解析：设高为AD，则ADACACABABAP1)(显然成立25.已知错误!未找到引用源。为坐标原点，,OPxy错误!未找到引用源。，,0OAa错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，3,4OC，记PA、PB、PC中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是_____726,解析：不妨设PBPA，即xy，此时},max{PCPAM,当a取遍一切实数时，点A在x轴上滑动，而到点C的距离等于到x轴距离的点的轨迹是以C为焦点，x轴为准线8的抛物线，其方程为)2(8)3(2yx,它交直线xy于点P)627,627(，显然此时PCPA，而A为xPA的垂足时M最小，即最小是627法2：对于某个固定的a,到M的最大值显然可以趋向，M最小值呢？实际上就是当P为ABC外心时，此时PCPBPAM的最小值，因为当P不是外心时，PCPBPA,,至少有一个会变大，这样M就变大.解得外心坐标为P)14225,14225(22aaaa,要使得PCPBPA最小，则圆与坐标轴相切，此时aaa142252627a26.已知ABC中，I为内心，2,3,4,ACBCABAIxAByAC且，则xy的值为_________.23,解析：延长AI交BC于点'I,则ACABBCABAIAI323132'2327.设G是ABC的重心，且0)sin35()sin40()sin56(GCCGBBGAA，则角B的大小为__________60°解析：由重心性质知cbaCBA354056sin35sin40sin56，下面用余弦定理即可求解28.平面内两个非零向量,，满足1，且与的夹角为0135，则的取