最佳平方逼近多项式

最佳平方逼近多项式本节内容1.内积空间2.两类特殊的函数族3.函数的最佳平方逼近4.举例5.MATLAB程序实现§5.2最佳平方逼近多项式1.内积空间权函数：考虑到在区间[a,b]上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区间[a,b]上的非负函数满足条件：()fx()x1）存在；||()(0,1,)bnaxxn2）对非负的连续函数，若则在[a,b]上，，即不恒为0。()gx()()0,bagxxdx()0gx()x就称为[a,b]上的权函数。它的物理意义可以解释为密度函数。()x1.内积空间内积：设是[a,b]上的权函数，则称积分为函数与在[a,b]上的内积,有下列性质：(),()[,],()fxgxCabx(,)()()()bafgxfxgxdx()fx()gx1）2）为常数;3）4）当且仅当时，(,)(,);fggf(,)(,),CfgCfgC1212(,)(,)(,);ffgfgfg(,)0,ff0f(,)0ff。1.内积空间内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积空间。如在连续函数空间上定义了内积就形成了一个内积空间。[,]Cab向量的模：在n维欧氏空间中，内积就是两向量的数量积，即nR1(,)nTkkkxyxyxy向量的模（范数)的定义为：12221(,)()nkkfxxf1.内积空间欧式范数：若,则量()[,]fxCab22(,)()baffffxdx称为的欧式范数。()fx对任何,有以下结论：（1），又称柯西-施瓦茨不等式；（2），又称三角不等式；（3），又称平行四边形定律。,[,]fgCab22(,)fgfg222fgfg222222222()fgfgfg2.两类特殊的函数族正交：若为[a,b]上的权函数且满足则称与在[a,b]上带权正交。(),()[,],()fxgxCabx(,)()()()0bafgxfxgxdx()fx()gx正交函数族：若函数族满足关系),(,),(),(10xxxn0,(,)()()()0,bjkjkakjkxxxdxAjk则称是[a,b]上带权的正交函数族；若，则称为标准正交函数族。()x()x1kA2.两类特殊的函数族可以证明，三角函数族满足上述条件，是在上的正交函数族。1,cos,sin,cos2,sin2,xxxx[,]线性无关：若函数在区间[a,b]上连续，如果)(,),(),(110xxxn0)()()()(11221100xaxaxaxann当且仅当时成立，则称0110naaa在[a,b]上是线性无关的。)(,),(),(110xxxn2.两类特殊的函数族线性无关函数族：若函数族中的任何有限个线性无关，则称为线性无关函数族。()(0,1,2,)kxkkk充要条件：在[a,b]上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式，其中011(),(),,()nxxx10nG0001011011111011101111(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,,,)(,)(,)(,)nnnnnnnnGG3.函数的最佳平方逼近最佳平方逼近函数：对于及中的一个子集若存在使下式成立:()[,]fxCab[,]Cab01Span{,,,},n)(xs22222inf()inf()[()()]bassfsfsxxfxsxdx则称是在子集中的最佳平方逼近函数，其中是一组线性无关函数族，函数()sx()fx[,]Cabk0011()()()()nnsxaxaxax。3.函数的最佳平方逼近对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数banjjjndxxfxaxaaaI2010])()([)(),,,(的最小值。令则0(0,1,,),kIkna02()[()()]()0(0,1,,)nbjjkajkIxaxfxxdxkna引入内积定义，可得0(,)(,)0(0,1,,)njkjkjafkn即0(,)(,)(0,1,,)nkjjkjafkn3.函数的最佳平方逼近0(,)(,)(0,1,,)nkjjkjafkn上式是关于的线性方程组，称为法方程。用矩阵形式可表示为01,,,naaa0001010010111111101111(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf简记为。其中Had01(,,,),Tnaaaa01(,,,),(,)(0,1,2,,)Tnkkdddddfkn3.函数的最佳平方逼近由于线性无关，故其系数矩阵H的行列式非奇异，即，该法方程有唯一解为则最佳平方逼近函数为n,,,100),,,(10nG*(0,1,2,,)kkaakn)()()()(*1*10*0*xaxaxaxsnn令，则平方误差)()(*xsxf22****220(,)(,)(,)(,)nkkkfsfsffsffaf3.函数的最佳平方逼近特别地，取，，求其最佳平方逼近多项式。此时，]1,0[)(,1)(,)(Cxfxxxkk1,,,nnHSpanxxnnxaxaaxs**1*0*)(101(,)1kjjkxdxkj10(,)()kkkdffxxdx3.函数的最佳平方逼近00010101110111121(,)(,)(,)111(,)(,)(,)232(,)(,)(,)1111221nnnnnnnHnnnn又称为希尔伯特矩阵。则方程的唯一解即为所求多项式s*(x)的系数。Had*(0,1,2,,)kkaakn4.举例1.求在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。3()1fxx解：取01(,,,),(,)(0,1,2,,)Tnkkdddddfkn]1,0[)(,1)(,)(Cxfxxxkk由得5883.01),(1114.11)1,(10311030dxxxxfddxxfd则由Had00011011(,)(,)(,)(,)H101(,)1kjjkxdxkj4.举例得5883.01114.13/12/12/1110aa3912.09158.010aa解得：故所求一次最佳平方逼近多项式为：xxs3912.09158.0)(*110.92610.4142px所求最佳一次逼近多项式为：4.举例3()1fxx10.92610.4142pxxxs3912.09158.0)(*14.举例5883.01),(1114.11)1,(10311030dxxxxfddxxfdMatlab求定积分（int函数）d0=(2*2^(1/2))/5-(6*ellipticF(asin(1/(3/2+(3^(1/2)*i)/2)^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5+(6*(3/2+(3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((-1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(-1/2+(3^(1/2)*i)/2)*(1/2+(3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/54.举例5883.01),(1114.11)1,(10311030dxxxxfddxxfd4.举例4.举例二次4.举例三次4.举例四次4.举例4.举例)()(*xsxf4.举例22****220(,)(,)(,)(,)nkkkfsfsffsffaf*(0,1,2,,)kkaakn4.举例5.MATLAB编程实现functionA=ZJPFBJ(f,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(f);f=f/varfori=1:n+1C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;f=f*var;d(i,1)=int(sym(f),var,a,b);endfori=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+i);f2=power(a,n+i);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endA=C\d;A=real(double(A));end5.MATLAB编程实现程序结果输出计算结果输出5.MATLAB编程实现程序结果输出计算结果输出程序正确简化计算谢谢