高中数学排列组合专题

第1页（共10页）排列组合一．选择题（共5小题）1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（）A．36种B．42种C．50种D．72种2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（）A．8种B．10种C．12种D．32种3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72B．120C．144D．1684．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A．300种B．240种C．144种D．96种二．填空题（共3小题）6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种．7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的第2页（共10页）插法共有种．三．解答题（共8小题）9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和．12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项．13．求值Cn5﹣n+Cn+19﹣n．14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行；（2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（5）全体站成一排，男、女各站在一起；（6）全体站成一排，男生必须排在一起；（7）全体站成一排，男生不能排在一起；（8）全体站成一排，男、女生各不相邻；（9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；（10）全体站成一排，甲必须在乙的右边；（11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；（12）排成前后两排，前排3人，后排4人．15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．第3页（共10页）（1）组成多少个3位数？（2）组成多少个3位偶数？（3）组成数字1、2相邻的5位偶数有多少个？（4）组成能被3整除的三位数有多少个？（5）组成1、3都不与5相邻的六位数有多少个？（6）组成个位数字小于十位数的个数有多少个？16．用6种不同的颜色给下列三个图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且要求相邻的两个格子颜色不同，则（1）图1和图2中不同的涂色方法分别有多少种？（2）图3最多只能使用3种颜色，不同的涂色方法有多少种？第4页（共10页）排列组合参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有C62C42﹣2A51C42+A42=42（种）．故选B．2．【解答】解：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则有C53=10种不同的走法，故选B．3．【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．第5页（共10页）4．【解答】解：从4个球种选出2个组成复合元素，再把3个元素（包含一个复合元素）放入3个不同的盒子中有=36种，小球甲放在A盒中，其它三个球可以分为两类，第一类，3个球任意放入3个盒子中，有=6，第二类，从剩下的3个球种选出2个组成复合元素，再把2个元素（包含一个复合元素）放入B，C两个不同的盒子中有=6，利用间接法，故每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有36﹣6﹣6=24．故选：B．5．【解答】解：根据题意，由排列公式可得，首先从6人中选4人分别到四个城市游览，有A64=360种不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有A53=60种，乙到巴黎游览的有A53=60种，故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有360﹣60﹣60=240种；故选B．二．填空题（共3小题）6．【解答】解：先排6个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有5个空位符合条件，再将4人插入5个空位中，则共有1×A54=120种情况，故答案为：120．7．【解答】解：根据题意，分2步进行分析，①、先在编号为1，2，3的三个盒子中，取出2个盒子，有C32=3种取法，②、将4个小球放进取出的2个盒子中，每个小球有2种放法，则4个小球一共有2×2×2×2=24种，第6页（共10页）其中有1个空盒，即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中，且不能有空盒，其放法数目为（24﹣2）=14种，故四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法为3×14=42种；故答案为：42．8．【解答】解：3本不同的书，插入到原来有5本不同的书中，分三步，每插一本为一步，第一步，先插入第一本，插入到原来有5本不同的书排成一排所形成的6个间隔中．有，第二步，再插入第二本，插入到有6本不同的书排成一排所形成的7个间隔中，有，第三步，最后插入第三本，插入到有7本不同的书排成一排所形成的8个间隔中，有根据分步计数原理，不同的插法共有=336三．解答题（共8小题）9．【解答】解：设在取得合格品前取出的不合格品数为ξ，则ξ是一个随机变量，且取值0，1，2，3ξ=0表示从12个零件中取1件，取到合格品，其概率为p（ξ=0）===，ξ=1表示从12个零件中取2件，第1次取到不合格品，第2次取到合格品，其概率为p（ξ=1）===，有p（ξ=2）===，第7页（共10页）p（ξ=3）===∴所求分布列为10．【解答】解：（1），，解得n=8（2）因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，因为n=8，所以展开式中共有9项，所以展开式中二项式系数最大的项（3）令展开式中第r+1项的系数最大，所以解得2≤r≤3∴r=2，3∴展开式中系数最大的项为：T3=7x2，T4=7x11．【解答】解：（1）设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a24x24，令x=1，可得所有项的系数和为a0+a1+a2+a3+a4+…+a24=36=729①，即所有项的系数和为729．（2）再令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4+…+a22﹣a23+a24=﹣1②，第8页（共10页）由①②求得偶次项的系数和为a0+a2+a4+…+a24=364，所有奇次项的系数和为a1+a3+a5+…+a23=365．12．【解答】解：（x2+﹣2）5=，展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x10﹣2r，令10﹣2r=0，求得r=5，可得展开式中的常数项为﹣=﹣252．13．【解答】解：由题意可得，解可得，4≤n≤5∵n∈N*∴n=4或n=5当n=4时，原式=C41+C55=5当n=5时，原式=C50+C64=1614．【解答】解：（1）选5名同学排成一行，故有A75=2520种；（2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端，A66+A21A66=2160种；（3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；A22A55=240种（4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；A77﹣2A66+A55=3720种；（5）全体站成一排，男、女各站在一起，A33A44A22=288种；（6）全体站成一排，男生必须排在一起，A33A55=720种；（7）全体站成一排，男生不能排在一起，A44A53=1440种；（8）全体站成一排，男、女生各不相邻，A33A44=144种；（9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人，A52A22A44=960种；（10）全体站成一排，甲必须在乙的右边，A77=2520种，（11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变，=840种（12）排成前后两排，前排3人，后排4人，A77=5040种．15．【解答】解：（1）选3个全排，故有A63个；第9页（共10页）（2）第一步确定个位，第二步确定百位和十位，故有A31A52个；（3）第一类，2为个位数字，则有A43个，第二类，4或6为个位数字，再从剩下的3个数中选2个和1，2捆绑在一起组成一个复合元素全排，则有A21A22C32A33个，故组成数字1、2相邻的5位偶数有A43+A21A22C32A33个；（4）组成能被3整除的三位数的三个数字之和为3的倍数，有1+2+3=6，1+2+6=9，1+3+5=9，1+5+6=12，2+3+4=9，2+4+6=12，3+4+5=12，4+5+6=15，故组成能被3整除的三位数，8A33个；（5）若1，3不相邻，把1，3，5插入到2，4，6形成4个空中，则有A33A43个；若1，3相邻，把1，3捆绑在一起组成一个复合元素和5插入到2，4，6形成4个空中，则有A22A33A42个，故组成1、3都不与5相邻的六位数有A33A43+A22A33A42个；（6）组成个位数字小于十位数的大小顺序只有两种，故组成个位数字小于十位数的个数有A66个．16．【解答】解：如图（1）图1中，A有6种涂色方法，B种有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有5种涂色方法，所以根据分步计数原理知共有6×5×4×5=600种涂法，图2中，若A，D同色，A有6种涂色方法，B种有5种涂色方法，C有5种涂色方法，故有6×5×5=150种，若A，D异色，A有6种涂色方法，D有5种涂色方法，B种4种涂色方法，C有4种涂色方法，6×5×4×4=480，所以根据分类计数原理知共有150+480=630种涂法，（2）用2色涂格子有C62×2=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，共有3×2（1×1+1×2）=18种，所以涂色方法18×C63=360种方法，第10页（共10页）故总共有390种方法．