2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结课件 新人教B版必修2

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·必修2平面解析几何初步第二章第二章章末归纳总结学后反思2专题研究3知识结构1课时作业4知识结构学后反思用坐标法研究几何问题使我们从抽象的推理中解脱出来，用坐标的计算替代推理．为我们研究几何问题开辟了一条全新的道路．本章介绍了解析几何研究问题的基本思路：建立直角坐标系，求出或设出点的坐标，通过坐标的运算，对方程的研究来解释几何现象，表述几何问题．本章内容主要有两大部分：前一部分主要介绍了直线的倾斜角与斜率，直线方程的各种形式，点到直线距离公式和两点间距离公式．应特别注意直线方程不同形式的适用范围．后一部分是圆的方程，点、直线、圆与圆的位置关系，要牢牢把握圆的两种形式方程中各几何量含义，点、直线、圆与圆位置关系的代数及几何表示．要切实弄清圆的有关几何性质．最后介绍了空间直角坐标系和空间两点间的距离公式，解析几何是数形结合的典范，故学习本章要深刻体会数形结合思想，自觉运用数形结合方法去分析和解决实际问题．专题研究解析几何中求直线方程、求圆的方程是一类重要的问题，求解此类问题时常使用待定系数法．待定系数法的典型特征，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，根据题目所给的条件，列出待定系数所满足的关系，解方程或方程组即可获解．待定系数法的应用[例1]已知直线经过点P(－3,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，试求直线的方程．[解析]设所求直线的方程为xa＋yb＝1，由题意有－3a＋1b＝112|ab|＝3，解得a＝3＋3b＝－1＋3，或a＝3－33b＝－1－3.则直线方程：(3－1)x＋3(3＋1)y－6＝0或(3＋1)x－3(3－1)y＋6＝0.[点评]在利用直线的特殊形式求直线方程时，常将斜率k和截距a、b作为待定的系数．求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设方程为Ax＋By＋m＝0，垂直的直线则可设为Bx－Ay＋n＝0.这里m、n为待定的系数．[例2]已知三角形△ABC的顶点A(1，－1)、B(1,4)、C(4，－2)，求三角形的外接圆的方程．[解析]设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A(1，－1)、B(1,4)、C(4，－2)代入，得2＋D－E＋F＝017＋D＋4E＋F＝020＋4D－2E＋F＝0，解得D＝－7E＝－3F＝2.∴所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手：①直线与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解，方程组有几组实数解，直线与圆就有几个公共点，方程组没有实数解，直线与圆就没有公共点，判断圆与圆的位置关系时慎用此法；②运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆位置关系的几何结论转化为相应的代数结论．直线与圆、圆与圆的位置关系[例3]设有直线l：y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝16，求k为何值时，直线l被圆O所截得的弦最短？并求出最短弦长；能否求得k的值，使直线l被圆O所截得的弦最长？[解析]解法一：设所截得的弦长为L，则L＝216－9k2＋1.显然，当k＝0时，Lmin＝27；不论k取何值，L均无最大值，故弦长取不到最大值．[点评]注意题目的隐含条件，数形结合是解决此类问题的捷径．解法二：直线l过定点P(0,3)，由平面几何知识知：当直线l⊥OP时，l被⊙O截得的弦最短，此时，k＝0，最短弦长为216－9＝27.由于当且仅当直线l过圆心时，被圆O截得的弦(直径)最长，但此时，直线l的斜率不存在，故不存在k的值，使直线l被圆O截得的弦最长．[例4]求经过点(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆方程．[解析]解法一：将圆C化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心为(－5，－5)．∴经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意，得0－a2＋0－b2＝r20－a2＋6－b2＝r2a－b＝0，解得a＝3b＝3r＝32.故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.解法二：由题意，所求圆经过点(0,0)和(0,6)，∴圆心一定在直线y＝3上，又由解法一，知圆心在直线x－y＝0上，由x－y＝0y＝3，得圆心为(3,3)．∴半径r＝32＋32＝32，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，最值问题是各部分内容、各个章节的最重要的题型之一．本章研究直线与圆中的最值，常用联立方程组，用二次函数的值域及判别式Δ来解决．最值问题[例5]求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点的所有圆中面积最小的圆的方程．[分析]过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两点的连线为直径的圆，因此，只需求出交点，便可确定所求圆的圆心和半径．[解析]解法一：解方程组x＝－2x2＋y2＋2x－4y－11＝0，得两交点的坐标为A(－2,2＋15)、B(－2,2－15)．从而圆心C的坐标为(－2,2)，半径r＝12|AB|＝122＋15－2－15＝15.因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.解法二：直线x＝－2与圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点A、B的横坐标都为－2，从而圆心C的横坐标为－2.设A、B的纵坐标分别为y1、y2，把直线方程代入圆方程，整理得y2－4y－11＝0.则y1＋y2＝4，y1y2＝－11.∴圆心C的纵坐标为y1＋y22＝2.半径r＝12|y2－y1|＝12y1＋y22－4y1y2＝1242－4×－11＝15.因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.[例6]已知A(－2,2)、B(－3，－1)，试在直线l：2x－y－1＝0上求一点P，使|PA|2＋|PB|2最小．[解析]设P(x，y)为直线l上任意一点，则y＝2x－1.∴|PA|2＋|PB|2＝[(x＋2)2＋(y－2)2]＋[(x＋3)2＋(y＋1)2]＝(x＋2)2＋(2x－3)2＋(x＋3)2＋(2x)2＝10x2－2x＋22＝10x－1102＋21910，∴当x＝110时，|PA|2＋|PB|2取最小值21910.故所求的点的坐标为110，－45.“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学中的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．解析几何研究问题中的主要方法——坐标法，就是体现数形结合思想的典范．数形结合思想[例7]当曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A．(0，512)B．(13，34]C．(512，34]D．(512，＋∞)[解析]曲线y＝1＋4－x2是以(0,1)为圆心、2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即|1＋2k0－4|k20＋1＝2，k0＝512.直线PA的斜率为k1＝34.∴实数k的范围是512k≤34.[答案]C分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．分类讨论思想[例8]当a≥0时，方程x＋a＝a|x|有两解，则a的取值范围是()A．a0B．a1C．0a1D．0a1或a1[解析]本题考查数形结合的思想方法，令y＝x＋a，y＝a|x|，则直线y＝x＋a是斜率为1，纵截距为a的直线．曲线y＝a|x|，当x≥0时，y＝ax，这是一条斜率为a的射线；当x≤0时，y＝－ax是一条斜率为－a的射线．显然，当a1时，y＝x＋a与y＝ax(x≥0)，y＝－ax(x≤0)都相交，即直线y＝x＋a与y＝a|x|有两个交点．如图(1)．当0a≤1时，y＝x＋a与射线y＝－ax(x≤0)相交于一点，而与射线y＝ax(x≥0)不相交，故直线y＝x＋a与曲线y＝a|x|只有一个交点，如图(2)．当a＝0时，直线y＝x与直线y＝0相交于原点．当a0时，无交点．[答案]B