直线的倾斜角与斜率

浙江省磐安中学蒋洪江恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”不与坐标轴平行的直线抛物线ykxb2yaxbxc图形函数坐标系解析几何xyOxyOll1l2P问题：如图，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？P2P11.倾斜角的概念直线与x轴相交时，取x轴为基准，x轴正方向与直线l向上的方向所成的角叫做直线l的倾斜角.l2l4xyP图3Ol312•规定：l与x轴平行或者重合时，倾斜角为00•任何直线的倾斜角都存在•范围：0°≤α＜180°l1yxO1.倾斜角的概念直线与x轴相交时，取x轴为基准，x轴正方向与直线l向上的方向所成的角叫做直线l的倾斜角.l2xyP图3O12•规定：l与x轴平行或者重合时，倾斜角为00•任何直线的倾斜角都存在•范围：0°≤α＜180°•不同的直线倾斜角也可以相同•确定一条直线的几何要素：一点及其倾斜角ACD问题：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？升高量坡度前进量前进量ACD升高量问题：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？CAAD坡度tanCADB问题：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？CAAD坡度升高量坡度前进量BDAD坡度前进量ACD升高量tanCADtanBADCADBADtanCADtanBADtank例如：303330tank135tan1351k60360tank我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率用小写字母k表示，即：(90)2.斜率的概念2.斜率的概念•不是每条直线都存在斜率•倾斜角（不等于900）相同，斜率相同;反之亦然。•倾斜角与斜率的关系tank我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率用小写字母k表示，即：(90)),(222yxP111(,)Pxyxyo问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能导出它们的关系吗？问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能导出它们的关系吗？),(222yxP如图，当α为锐角时，xyo1x2x1y2y),(12yxQ锐角111(,)Pxy),(222yxP212112,,yyxxQPP且如图，当α为锐角时，xyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角111(,)Pxy2121yykxx问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能导出它们的关系吗？如图，当α为钝角时，xyo钝角),(111yxP),(222yxPxyo如图，当α为钝角时，钝角),(111yxP),(222yxP),(12yxQ),(12yxQ1x2x1y2yxyo),(12yxQ如图，当α为钝角时，2121,,180yyxx且tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk0钝角),(111yxP),(222yxP),(12yxQ2y1y2x1x2121yykxx3.斜率公式综上所述，我们得到经过两点),,(111yxP)(21xx),(222yxP的直线斜率公式：2121yykxx12（xx）当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x2121yykxx无意义，故斜率不存在！1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y21210yykxx当y1=y2时,y1-y2=0当x1=x2时,x1-x2=02、已知直线上两点，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与P1、P2的顺序有关吗？111(,)Pxy222(,)Pxy122121PPyykxx211212PPyykxx两点的连线斜率与两点顺序无关4.应用举例例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。xyOABC直线AB的斜率2113(4)7ABk1110(4)2BCk2(1)130CAk直线BC的斜率直线CA的斜率∴直线CA的倾斜角为锐角∴直线BC的倾斜角为钝角。∵0CAk∴直线AB的倾斜角为锐角。∵0BCk∵0ABkA.（-1，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1]D.（-∞，-1]∪[1，+∞）3.,.,4kk例2直线的斜率为倾斜角为若则的范围是42当时42xOxy411y1yA.（-1，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1]D.（-∞，-1]∪[1，+∞）3.,.,4kk例2直线的斜率为倾斜角为若则的范围是42xOxy411y34134当时22当时41y1y1yA.（-1，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1]D.（-∞，-1]∪[1，+∞）3.,.,4kk例2直线的斜率为倾斜角为若则的范围是4:,.1k1,k变式直线的斜率为倾斜角为若则的范围是A.(-,)443B.[0,)(,)443C.(0,)(,)424]3D.[0,)(,445.小结（1）在本节课中，我们学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？（3）从倾斜角能刻画直线的倾斜程度，到斜率也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？两点一点一方向直线倾斜角斜率数形数形结合2121xyykxx12（x）k=tanα(α≠90o)