参数方程的概念和圆的参数方程

参数方程的概念12图如图2-1，一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？问题提出Oxy500V=100m/sM(x,y)221500100gtytx（t为飞机投出后的时间）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数概念分析并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数.(),().xftygt1、相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程；2、参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.例1、已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线C的位置关系；（2）已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值.23,()21.为参数xttyt例题分析2、方程所表示的曲线上一点的坐标是（）A、（2，7）；B、C、D、（1，0）练习sin,(cosxy为参数）12(,);3311(,);221、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、21,(43xttyt为参数）25(,0);16(1,3);25(,0);16BD3、已知曲线C的参数方程是点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.212,().xttayat为参数,R圆的参数方程求参数方程的步骤:(1)建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标(x,y)(2)选取适当的参数(3)建立点P坐标与参数的函数式知识准备：2、任意角三角函数的定义：P(x,y)yxOsin,cosyxrrr=|OP|则：1、圆的标准方程与一般方程(x－a)2+(y－b)2=r2x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F0)展开配方yxorM(x,y)0M引例:如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t=0时的位置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动.点M绕点O转动的角速度为w.经过t秒，M的位置在何处?圆x2+y2=r2对应的参数方程：)(.sin,cos为参数ttrytrx)(sincos为参数ryrx11cossinxryrθθ1222()(:(,),?)xaybrObar思考圆心为、半径为的圆的标准方程为那么参数方程是什么呢v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(a,b)r11111(,),(,)(,),,圆心为、半径为的圆可以看作由圆心为原点、半径为的圆平移得到设圆上任意一点是圆上的点平移得到的由平移公式有OabrOrOPxyOPxy又所以sincosrbyrax11xxayyb参数方程与普通方程的互化sincosryrxx2+y2=r2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系.∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)222690,xyxy、已知圆的方程为将它化为参例1数方程.22222690131.：，（）（）解xyxyxy化为标准方程练习：1.填空：已知圆O的参数方程是5cos(02)5sinxyθθπθ5_______3⑴如果圆上点所对应的参数则点的坐标是PPπθ553,225532,,22如果圆上点所对应的坐标是则点对应的参数等于_______QQ322cos2sin2xy选择题：参数方程(θ为参数)表示的曲线是A.圆心在原点,半径为2的圆B.圆心不在原点,但半径为2的圆C.不是圆D.以上可能.都有A:2cos(1)2n3sixyθθ、填空题参数方程表示圆心为半径为的圆，化为标准方程为（2，-2）112y2x2212cos22sinxyθθ化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyxxMPAyO解:设M的坐标为(x,y),∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.由中点公式得:点M的轨迹方程为x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ圆x2+y2=16的参数方程为例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?xMPAyO例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?解:设M的坐标为(x,y),∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.由中点坐标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4∵点P在圆x2+y2=16上2222()64120123031、已知点，是圆上动点，求（）的最值;（）的最值;（）到直线的距离的最值.例PxyxyxyxyxyPxyd例4、将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)221(3)1xttytt22222912(11)221322（）（（）（）或））（xyyxxxyxx答案小结:1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点问题（代入法）；⑵参数法；⑶定义法;(4)直求法5、利用参数方程求最值（结合辅助角公式）