王尚志教授谈新课标下的高中数学2

常用逻辑用语首都师范大学定位“正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。”为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）“常用逻辑用语”和“简易逻辑”存在定位上的区别“常用逻辑用语”的课程目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，更好的理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，避免在使用过程中产生错误。高中数学课程中，学“常用逻辑用语”不是为逻辑学和数理逻辑奠定基础，这与“简易逻辑”的目标不同，这一点需要老师们特别注意。为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（2）“常用逻辑用语”应通过实例理解，避免形式化的倾向常用逻辑用语的教学不应当从抽象的定义出发，而应该通过数学和生活中的丰富实例理解常用逻辑用语的意义，体会常用逻辑用语的作用。事实上，在高中阶段，没有必要形式的理解常用逻辑用语在“逻辑学”和“数理逻辑”中的确切含义。重点是理解常用逻辑用语在认识和表达数学中的作用。为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（3）“常用逻辑用语”的学习重在使用对于“常用逻辑用语”的学习，不仅需要用已学过的数学知识为载体，而且需要把常用逻辑用语用于后继的数学学习中。因此，“常用逻辑用语”的学习重在使用，在使用中不断地加深对于常用逻辑用语的认识。为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（4）《标准》对“常用逻辑用语”的要求，既是阶段性要求也是终结性要求，正确的使用常用逻辑用语，不仅是学习这一部分内容的要求，而且还需要在今后的学习中，通过不断的正确使用常用逻辑用语，加深对常用逻辑用语的认识。有兴趣选修“开关电路与布尔代数”的同学还会接触到有关命题的一些知识，了解“命题演算”是布尔代数的一个具体模型。内容（1）命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。内容（2）简单的逻辑联结词通过数学实例，了解逻辑联结词：“或”“且”“非”的含义。内容（3）全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。重点（一）理解充分条件、必要条件与充要条件的意义在数学中，寻求充分条件是一件很重要的事情。特别是在引入新的数学对象后，常常需要判断一个对象是不是我们引入的新对象。判定定理中的条件是给出判定一个事物的充分条件。重点例如：①在引入平行四边形后，就需要寻找判定一个图形是不是平行四边形的条件，一组对边平行且相等就是判定一个四边形是平行四边形的充分条件。用命题形式表达就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。重点②在引入方程的解的概念后，需要寻找判定方程有解的条件。像这些条件都是充分条件。对于区间[a,b]上的连续函数f(x)，f(a)f(b)0就是判定方程f(x)=0在区间[a,b]内有解的充分条件。用命题形式表达就是：对于区间[a,b]上的连续函数f(x)，若f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在区间[a,b]内有解。重点寻求必要条件也是数学中一件很重要的事情。在数学中，常常要确定一个对象的某些性质。特别是在引入新的数学对象后，常常需要研究这个对象具有什么性质。性质定理中的性质是给出判定一个事物的必要条件。重点.qp:q:pqp。即”“对角线相互垂直平分“四边形是正方形”可以写成分”是一个真命题，它直平方形，则对角线相互垂分析：“若四边形是正对角线相互垂直平分。四边形是正方形，必要条件的意义。之间的关系，来理解与件例如，通过分析下列条重点qppqqpqppqqpqpqpqp成立，必须具备条件说，只要成立是必要的。也就是对于必须要成立，即成立，可以理解为一旦的必要条件。是时，我们就说，这成立，即成立时一定有立。换句话说，一定成成立，”为真命题是指：当则总结：“若重点在数学上，找到一个“事物”的充分必要条件是特别重要的一件事情，它可以帮助我们从不同的角度，全面地反映同一个“事物”的面貌。在数学上有很多非常重要的充分必要条件的结果。一个事物的充分必要条件会给我们讨论问题带来很大的方便，给我们提供了全面刻画事物的另外一个角度，甚至可以帮助我们开拓新的研究方向。重点例如：①勾股定理。勾股定理中的“”是直角三角形的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形。222abc重点②两条直线垂直的充要条件。两条直线的方向向量的数量积等于零是两条直线垂直的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以利用向量的代数运算来研究几何中的垂直问题。重点③一元二次方程有实数根的充分必要条件。判别式△是一元二次方程有实数根的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以定性地研究一元二次方程的实数根。重点（二）全称量词与存在量词的含义及对含有一个量词的命题进行否定第一，结合具体命题来理解全称量词、存在量词的意义，了解全称量词和存在量词在日常生活和数学中的各种表达形式。重点例如：可以结合下面的具体命题来理解全称量词的意义。(1)所有正方形都是矩形；(2)每一个有理数都能写成分数的形式；(3)一切三角形的内角和都等于180°(4)有些三角形是直角三角形；(5)如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数；(6)存在一个实数x，使得210xx重点在以上命题的条件中，“所有”、“每一个”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词都是全称量词;“有些”、“至少有一个”“存在”等都表示个别或一部分的含义，这些词都是存在量词。通常，全程量词的表达形式有“所有”、“每一个”、“一切”“任何一个”“任意一个”等，存在量词的表达形式有“有些”、“至少有一个”“存在”“有一个”、“至少”等。重点第二，通过生活和数学中的丰富实例，体会“量词”在数学中和日常生活中的作用。全称量词、存在量词是数学中和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语。大量的数学命题都要使用这样的逻辑用语。重点xa,b,M(M0),f(x)Mf(x)a,b{281719}1nn例如，每一个等腰三角形的两个底角相等，过直线外一点存在唯一的一条直线与该直线平行，就是用了全称量词和存在量词。在大学的学习中，对数列极限的概念的刻画，就需要多次使用全称量词和存在量词。对使恒成立，则称在上有界。给定一组正整数，，，，存在一个大于的正整数，使得这组数中的每一个数都能被整除。在这个命题中，使用了两个量词。重点对于含有量词的命题的否定，只要求对含有一个量词的命题进行否定。例如，对于北京市任何一所高中，都至少有一个学生能跳过1米5的高度。在这个命题中，有两个量词“任何一所”、“至少有一个”，对于这样的命题，不要求学生理解和掌握，也不要求对这样的命题进行否定。几个注意的问题（一）对命题的认识我们不从一般的定义出发，而是通过实例了解“命题”，这些实例都能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，并且能判断真假。几个注意的问题例如：①若一个四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形。②三角形内角和等于１８０°。③x3.①明确的给出了条件和结论，并能判断真假。②虽然没有明确的给出条件和结论，但是能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，即如果三个角是一个三角形的内角，则这三个角的和等于１８０°。③不能判断真假，所以它不是一个命题。几个注意的问题（二）教学中只要求用这些逻辑联结词作“合成”，不要求对复合命题“分解”。例如：“高二一班全体同学考试合格”，这是一个非常明了的命题，没有必要说成“高二一班的张三考试合格且李四同学合格、且…”。几个注意的问题（三）新课标对真值表不做要求，只要学生理解其含义，尽量避免形式化的讨论。例如：给出条件p、q的真值表pqp→q001011100111几个注意的问题（四）在本部分内容的教学中，要通过具体实例来帮助学生按标准要求了解或理解常用逻辑用语，并学会正确使用逻辑用语，避免形式化的讨论。因为本部分内容不是为逻辑学和数学逻辑奠定基础，而是学习正确的使用逻辑用语来清晰的表达数学内容。几个注意的问题例如，对于一个具体命题，理解它的否定命题的真假并不难。但是，对于一般形式的命题“若p则q”，认识这个命题否定的含义就比较困难，因此不要求形式的讨论这类问题。