圆复习课件ppt

┃知识归纳┃1．确定圆的要素圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．2．点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内．点在圆外，即这个点到圆心的距离半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离半径．判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r来比较得到．(2)设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有d＜r⇒点P在圆内；d＝r⇒点P在圆上；大于等于小于d＞r⇒点P在圆外．[点拨]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．3．垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的.[注意]①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．弧(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．4．圆的旋转不变性(1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为.(2)探究圆中角的一些性质定理1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心两条弦5．圆周角与圆心角的关系(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角叫做圆周角．[注意]圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的部分是圆的两条弦．(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的.(3)圆周角的性质性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角.一半相等直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是.[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．6．确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．7．三角形的外接圆直径三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的.8．直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离外心位置关系相离相切相交图形公共点个数数量关系012drd＝rdr[易错点]将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线的距离．9．圆的切线的性质及判定性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．10．三角形的内切圆和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做三角形的.[注意]对一个确定的三角形来说，其内切圆有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心就是内切圆的圆心．内心12．弧长及扇形的面积公式(1)弧长公式半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝.(2)扇形的面积公式半径为R，圆心角是n°的扇形面积是S扇形＝n360πR2；nπR180半径为R，弧长l的扇形面积是S扇形＝.12lR13．圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个.(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为.(3)圆锥侧面积为.[点拨]圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．扇形l2πrπrl►考点一确定圆的条件┃考点攻略┃例1[2010·河北]如图X3－4，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A．点PB．点QC．点RD．点MB[解析]B圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点Q.方法技巧过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．►考点二垂径定理及其推论例2如图X3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为()A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cmD[解析]D连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3cm，因为OD＝4cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5cm，所以OC＝5cm，所以DC＝1cm.方法技巧(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是r2＝d2＋（1/2）2(其中r为圆半径，d为圆心到弦的距离，a为弦长)．考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系例3如图X3－6，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于()A．30°B．35°C．40°D．50°C[解析]C由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.►考点四圆心角与圆周角例4如图X3－7，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝________°.44[解析]由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°，又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.方法技巧圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造．►考点五与圆有关的开放性问题例5如图X3－8，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E.(1)∠E＝________度；(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；(3)求弦DE的长．[解析](1)由题目可知∠E＝∠ACD，因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD＝45°，所以∠E＝∠ACD＝45°.(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知∠E＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP.(3)因为△ACP∽△DEP，所以APDP＝ACDE，因为P是CD的中点，所以CP＝DP＝12CD＝1，由勾股定理分别求出AP＝5，AC＝22，代入比例式算出DE＝2105.解：(1)45(2)△ACP∽△DEP.理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，∴△ACP∽△DEP.(3)∵△ACP∽△DEP，∴APDP＝ACDE.又AP＝AD2＋DP2＝5，AC＝AD2＋DC2＝22，∴DE＝2105.►考点六计算扇形面积例7如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为()A．πB．1C．2D.23πC[解析]C扇形的面积等于弧长乘以半径的一半，所以此扇形的面积为12×2×2＝2.►考点七计算弧长例8如图X3－9，已知正方形的边长为2cm，以对角的两个顶点为圆心，2cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为________cm(结果保留π)．2π►考点八圆的切线性质例9如图X3－10，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.(1)求证：DE＝12BC；(2)若tanC＝52，DE＝2，求AD的长．[解析]连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.解：(1)证明：连接BD，∵AB为直径，∠ABC＝90°，∴BE切⊙O于点B.又因为DE切⊙O于点D，所以DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB.∵∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠C＝90°∠BDE＋∠CDE＝90°，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝12BC.(2)因为DE＝2，DE＝12BC，所以BC＝4.在Rt△ABC中，tanC＝ABBC，所以AB＝BC·52＝25.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝252＋42＝6.又因为△ABD∽△ACB，所以ADAB＝ABAC，即AD25＝256，所以AD＝103.方法技巧圆的切线性质有很多，可以总结为：与圆相切一直线，只有一个公共点；切点圆心相连接，垂直切线是必然；切线上面取一点，此点圆心相互联；如若垂直圆切线，此点切点零相间(此句指此点与切点之间距离为零)．►考点九圆的切线的判定方法例10如图X3－11，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．[解析]先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出∠ODE是直角．解：(1)∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5.∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴ADAB＝DBBC，即35＝4BC，∴BC＝203.(2)证明：连接OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE.又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，又∵∠OBD＋∠DBC＝90°，∠C＋∠DBC＝90°，∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，即∠BDE＋∠CDE＝90°，∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°，∴ED与⊙O相切．方法技巧在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．►考点十圆锥面积问题例11如图X3－12，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm.∵OC·AB＝BC·AC，∴r＝OC＝BC·ACAB＝5×1213＝6013.∴S表＝πr(BC＋AC)＝π×6013×(12＋5)＝102013πcm2.方法技巧对于这类由多个几何体拼接而成的几何体，在求它们的侧面积或体积时，可以根据其特点适当“分割”求解，再求和．