关于实数七个基本定理等价性的证明

关于实数七个基本定理等价性的证明夏小月中山大学应用数学04级从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是：○1戴德金连续性准则○2单调有界有极限定理○3确界定理○4区间套定理○5Borel有限覆盖定理○6Bolzano-Weierstrass定理○7Cauchy收敛原理书上证明各定理的思路是：从○1出发证明○2及○3，并证明○1、○2、○3相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。由○2及此加强结论可证出○4，再由○4分别证出○5及○6，由○6证出○7。下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下：①④已知有区间套,nnab满足lim0nnnba，11,,nnnnababn。要证存在唯一的1,nnnrab，且limlimnnnnbar记na全体上界组成的集合为，\R。由11,,nnnnababn，知121nnaaabb。显然11a，11b，且nb，故知、不空；由R\知、不漏；,ab，由于a不是na的上界，因此存在0nnaa，使0naa。而b是na上界之一，所以0nab，故0naab，即ab，故不乱，因此|构成实数的一个分划。由①知，存在唯一的r，,ab，有ab。下证1,nnnrab，即,nnnarb若，使nar，则2nnara，因此2nar，而2narr，与,aar矛盾。,nnar。同样，若，使nbr，则2nnbrb，因此2nbr，而2nbrr，与,brb矛盾。,nnbr。也即1,nnnrab。下证limlimnnnnbar：lim0nnnba0,,n时，nnarbnnnnnnbrbrbabannnnnnarrababa，即limlimnnnnbar最后证明r是唯一的，若rr，使1,nnnrab，由,nnarrb知nnrrba，令n得0rr矛盾，至此区间套定理得证。④①已知实数分划|，求证存在唯一的r使,ab，arb。任取11,ab，用中点112ab二等分11,ab，若112ab，则记11122,,2abbab，否则记11122,,2abaab；再用中点222ab二等分22,ab，若222ab，则记22233,,2abbab，否则记22233,,2abaab。……如此进行下去得一区间序列,nnab，显然11,,nnnnababn，且111=02nnnbaban。因此,nnab为区间套。由④知，存在唯一的r满足1,nnnrab，且limlimnnnnbar。,nnnarb。下证,aar，,brb，用反证法：若存在0a，使0ar，则取002arlimnnbr，110,,n时nbr，00022nararbrra。这与|是实数分划相矛盾。同理，若存在0b，使0br，则取002rblimnnar，220,,n时nar，00022nrbbrarrb。这与|不乱相矛盾。故r的存在性得证，下证唯一性：若rr，,ab，arb，不妨设rr，则2rrrr。若2rr，则2rrr，矛盾；若2rr，则2rrr，矛盾，故2rr，2rr，与、不漏矛盾。①得证。④⑦必要性：若nx极限存在，设limnnxr，则0,,n时2nxr，故当,nm,22nmnmnmxxxrrxxrrx，必要性得证。充分性：若0,,,nm时nmxx，取1，则0，0n，0m时1nmxx011nxx，001111nxxx令00121max,,,,1bxxxx；00121min,,,,1bxxxx则,nnnarb记11,,abab，将11,ab三等分，则分点为1123ab及1123ab，在1112,3aba及1112,3abb中至少有一个闭子区间只含nx中的有限项，否则，取1106ba，，存在,nm，1112,3nabxa，1112,3mabxb，满足,nm而1103nmbaxx，矛盾。设只含nx有限项的闭子区间（之一）为1J，记22111,,\ababJ，则221123baba，2211,,abab，再三等分22,ab，重复如上步骤，进行下去得一区间套,nnab，由④知，存在唯一的r使得limlimnnnnbar有区间套的构造可知，11kk,,\,kabab中只含nx中的有限项，即kk,ab中含nx自某项起之后的所有项，不妨设为kNx后的所有项。0,,KkK时，kar，kbrkkrabr而对于K+1K+1,ab，1KN，K+1K+1,ab含有nx自K+1Nx后的所有项因此只要1KnN，有11KnKaxb，即11KnKraxbr，即kxr。充分性得证，⑦得证。⑦④已知有区间套,nnab，lim0nnnba，11,,nnnnababn11,,nnnnababn，有11nnnnaabblim0nnnba0,,n时nnba若mN，不妨设nm，则nmmnaabbmnmnnnnnaaaababamnnmnnnnbbbbbaba由⑦知nb、na收敛，又lim0nnnba，limlimnnnnba，记limlimnnnnbar。下证1,nnnrab，用反证法：若1N，使1Nra，由na单调上升知1nN时1nNaar，10nnNararar，令n得100Nar，矛盾。同样，若2N，使2Nrb，由nb单调下降知2nN时2Nnrbb，20nnNbrrbrb，令n得200Nrb，矛盾。,nnnarb，即1,nnnrab至于r的唯一性，若rr，使1,nnnrab，由,nnarrb知nnrrba，令n得0rr矛盾。r存在并唯一，④得证⑦②已知nx单调上升有上界b，要证limnnx存在。用反证法：若limnnx不存在，即00,0，存在,NNnNmN，使0NNnmxx，不妨设NNnmN。取11N，11,1nm，使110nmxx取21Nn，2222,nNmN，使220nmxx……取1kkNn，,kkkknNmN，使上述k个不等式相加，有：1111110kkkkkknmnmnmnmnmkxxxxxxxxxx（1kkkknmNn1kkknmnxxx）112211101kkkkkkknmnmnmnmnmnkxxxxxxxxxxxx10knxxk取101bxk，则kK时，110100knbxxxkxb，这与b是nx上界矛盾。0,,,NnNmN时，nmxx，由⑦知，nx极限存在，类似可证若nx单调下降有下界，limnnx也存在②⑥已知nx有界，要证nx有收敛子列，首先证明nx必有单调子列。若nixxin，则称nx有性质P。nx只可能出现两种情况：⒜nx中有无穷多项有性质P。则可从这些项中取12,,,knnn，满足12knnn，则12knnnxxx。knx为一单调递减的子列。⒝nx中只有有限项有性质P，记最后一项具有性质P的点为0nx，则0nn，in，使inxx取011nn，21nn，使21nnxx；对于2n，32nn，使32nnxx；……；对于1kn，1kknn，使1kknnxx，如此下去，得到nx一单调递增子列故可知有界数列nx必有单调子列knxnx有界故knx有界，由②知knx收敛⑥得证⑥②已知nx单调上升有上界，则nx有收敛子列knx，设limknkxr0,,KkK时knxr取KNn，则只要nN，必kK，使1kknnn，从而1kknnnxxx，故nxr，即limnnxr同理可证nx单调下降的情况，②得证②③已知非空数集有上界b，要证明有上确界任取a，记11aa，1bb，则1a不是上界，1b是上界；若112ab是的上界，则记1122abb，12aa，否则记1122aba，12bb；若222ab是的上界，则记2232abb，23aa，否则记2232aba，；……如此继续下去，得到两数列nanb，且n，na非上界，nb为上界，且na单调递增，nb单调递减，且显然n，x，使nnaxb，na有上界，nb有下界。由②知limnnb、limnna均存在，又111=02nnnbaban，limlimnnnnba，记limlimnnnnbar由⑥②过程中知n，nar若0x使0xr，则取002xr。limnnbr，,NnN时nbr000022nxrxrbrrx，则nb不是上界，矛盾。x，xr，即r是上界。0,,NnN时nar，nrar，na不是上界，1x使1nxa，1nxarr是的上确界同理可知非空数集若有下界则必有下确界。③得证③⑤设,ab有一个开覆盖，定义数集,,xxaax在中存在有限子覆盖。00,，使00,aa，02a，非空。由的定义知，若x，则,ax，故若无上界，则b，也即,ab有的有限子覆盖。若有上界，由③知有上确界r。若rb，则11,，使11,r，11r111122rrrsupr，12r，1,2ra有的有限子覆盖。而11,22rr显然被11,覆盖12r，又知道12rr，这与supr矛盾rb，b，,ab有的有限子覆盖。⑤得证⑤④已知有一区间套,nnab，lim0nnnba